- modeling（建模）
- Viewing（可视化）
为什么translation？
1. 建模：转化
2. 建模：旋转
3. 建模：变换尺度
这个是Pixar公司的开场动画，那个小人一直在踩字母‘I’，这个插入gif有点问题，就用截图了。
4. 3D到2D的投影
（ 一 ）缩放变换（Scale）
1. 均匀缩放：
上图表示横纵轴均缩放0.5，数学表达：
\[x' = sx \\
y' = sy
\]
矩阵表达方式：
\[\left[
\begin{matrix}
x' \\
y'
\end{matrix}
\right]
= \left[
\begin{matrix}
s & 0 \\
0 & s \\
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
x \\
y
\end{matrix}
\right]
\]
2. 不均匀缩放：
比如下图，水平方向缩小一半，竖直方向不变。
矩阵表示：
\[\left[
\begin{matrix}
x' \\
y'
\end{matrix}
\right]
=
\left[
\begin{matrix}
s_x & 0 \\
0 & s_y
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
x \\
y
\end{matrix}
\right]
\]
( 二 )反射矩阵(Reflection Matrix)
水平反射矩阵：
\[\left[
\begin{matrix}
x' \\
y'
\end{matrix}
\right]
= \left[
\begin{matrix}
-1 & 0\\
0 & 1
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
x \\
y
\end{matrix}
\right]
= \left[
\begin{matrix}
-x \\
y
\end{matrix}
\right]
\]
( 三 )切变矩阵（Shear Matrix）
提示：
水平位移在y = 0 时为0
水平位移在y = 1时为a
垂直位移始终为0。
切变矩阵表达式：
\[\left[
\begin{matrix}
x' \\
y'
\end{matrix}
\right]
=\left[
\begin{matrix}
1 & a \\
0 & 1
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
x \\
y
\end{matrix}
\right]
\]
（ 四 ）旋转（关于原点\((0,0)，默认逆时针方向（counterclockwise，CCK）\)）
计算旋转矩阵的手推公式：
计算出来的旋转公式：
\[R_{\theta} =
\left[
\begin{matrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{matrix}
\right]
\]
线性变换 = 矩阵（相同维度）
三、齐次坐标（Homogeneous coordinates）
（ 一 ）为什么使用齐次坐标？
因为对于平移（Translation），很难写出相同维度的矩阵，只能写成如下形式：
\[\left[
\begin{matrix}
x' \\
y'
\end{matrix}
\right]
= \left[
\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
x \\
y
\end{matrix}
\right]
+ \left[
\begin{matrix}
t_x \\
t_y
\end{matrix}
\right]
\]
注：平移不是线性变换。
鉴于平移的特殊性，为了统一变换的矩阵书写模式，因此我们引入了“齐次坐标（ Homogenous Coordinates）”
（ 二 ）添加第三个坐标（ W 坐标）
1. 2D point = \((x,y,1)^T\)
2. 2D vector = \((x,y,0)^T\)
3. 用矩阵表示平移：
\[\begin{pmatrix}
x' \\
y' \\
w'
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & t_x \\
0 & 1 & t_y \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
1
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
x + t_x \\
y + t_y \\
1
\end{pmatrix}
\]
向量具有平移不变性。
（ 三 ）齐次变换
- 关于 w 坐标的值是1或者0，是有含义的
（1） 加减运算：
- vector + vector = vector
- point – point = vector
- point + vector = point (一个点沿着一个向量移动，得到一个新的点。)
- point + point = ??
（2）关于point + point的扩充定义：
\(\begin{pmatrix}
x \\
y\\
w
\end{pmatrix}\)是一个2D point\(\begin{pmatrix} x/w \\ y/w \\ 1 \end{pmatrix},w \not= 0\)
仿射变换，又称仿射映射，是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。
1. Affine map = linear map + translation
\[\begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
t_x \\
t_y
\end{pmatrix}
\]
2. 使用齐次坐标
\[\begin{pmatrix}
x' \\
y'\\
1
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
a & b & t_x \\
c & d & t_y \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
1
\end{pmatrix}
\]
仿射变换下的齐次坐标，最后一行永远为(0,0,1),其余的变换最后一行还有其他意义，后续课程会详细讲解。由此得出第3点：2D变换。
使用齐次坐标优缺点
- 优点：可以统一表示仿射变换，且最后一行为（0,0,1）
- 缺点：多一行，存储空间占用更大。
3. 2D 变换
（1）缩放
\[S(s_x,s_y) =
\begin{pmatrix}
s_x & 0 & 0 \\
0 & s_y & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\]
(2)旋转
\[R(\alpha) =
\begin{pmatrix}
\cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\
\sin \alpha & \cos \alpha & 0
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\]
(3)平移
\[T(t_x,t_y) =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & t_x \\
0 & 1 & t_y \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\]
（ 四 ）逆变换
示意图：
\(M^{-1}\)将变换后的图像变换为原图像（类似：逆矩阵）。
（ 五 ）组合变换
举例1：先平移后旋转：
举例2 ： 先旋转后平移
通过上面两个例子即可发现，及时相同的变换，但是变换的先后次序不同，将会得到不同的结果。因此带来了关于变换顺序的问题：
\[R_{45} \cdot T_{1,0} \not= T_{1,0} \cdot R_{45}
\]
(2)写变换的矩阵排列的正确顺序是：从右到左
对于举例2中的矩阵计算顺序：
由此，可得出第（3）点仿射变换序列。
(3）仿射变换序列
（ 六 ）分解复杂变换
矩阵表达：变换的矩阵==》从右至左写，原始矩阵写在最右边。
答案：变换顺序===》先线性变换再平移。
