排序算法
| 排序算法 | 平均时间复杂度 | 最好时间复杂度 | 最坏时间复杂度 | 空间复杂度 | 排序方式 | 稳定性 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 冒泡排序 | \(O(n^2)\) | \(O(n)\) | \(O(n^2)\) | \(O(1)\) | In-place | 稳定 |
| 选择排序 | \(O(n^2)\) | \(O(n^2)\) | \(O(n^2)\) | \(O(1)\) | In-place | 不稳定 |
| 插入排序 | \(O(n^2)\) | \(O(n)\) | \(O(n^2)\) | \(O(1)\) | In-place | 稳定 |
| 希尔排序 | \(O(n\log n)\) | \(O(n\log^2 n)\) | \(O(n\log^2 n)\) | \(O(1)\) | In-place | 不稳定 |
| 归并排序 | \(O(n\log n)\) | \(O(n\log n)\) | \(O(n\log n)\) | \(O(n)\) | Out-place | 稳定 |
| 快速排序 | \(O(n\log n)\) | \(O(n\log n)\) | \(O(n^2)\) | \(O(\log n)\) | In-place | 不稳定 |
| 堆排序 | \(O(n\log n)\) | \(O(n\log n)\) | \(O(n\log n)\) | \(O(1)\) | In-place | 不稳定 |
| 计数排序 | \(O(n+k)\) | \(O(n+k)\) | \(O(n+k)\) | \(O(k)\) | Out-place | 稳定 |
| 桶排序 | \(O(n+k)\) | \(O(n+k)\) | \(O(n^2)\) | \(O(n+k)\) | Out-place | 稳定 |
| 基数排序 | \(O(n\times k)\) | \(O(n\times k)\) | \(O(n\times k)\) | \(O(n+k)\) | Out-place | 稳定 |
冒泡排序
- 比较相邻的元素。如果第一个比第二个大，就交换他们两个；
- 对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对，这步做完后，最后的元素会是最大的数；
- 针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个；
- 持续每次对越来越少的元素重复上面的步骤，直到没有任何一对数字需要比较。
def bubbleSort(arr):
for i in range(1, len(arr)):
for j in range(0, len(arr)-i):
if arr[j] > arr[j+1]:
arr[j], arr[j + 1] = arr[j + 1], arr[j]
return arr
选择排序
- 首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置；
- 再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾；
- 重复第二步，直到所有元素均排序完毕。
def selectionSort(arr):
for i in range(len(arr) - 1):
# 记录最小数的索引
minIndex = i
for j in range(i + 1, len(arr)):
if arr[j] < arr[minIndex]:
minIndex = j
# i 不是最小数时，将 i 和最小数进行交换
if i != minIndex:
arr[i], arr[minIndex] = arr[minIndex], arr[i]
return arr
插入排序
- 将第一待排序序列第一个元素看做一个有序序列；把第二个元素到最后一个元素当成是未排序序列；
- 从头到尾依次扫描未排序序列，将扫描到的每个元素插入有序序列的适当位置；
- 如果待插入的元素与有序序列中的某个元素相等，则将待插入元素插入到相等元素的后面。
def insertionSort(arr):
for i in range(len(arr)):
preIndex = i-1
current = arr[i]
while preIndex >= 0 and arr[preIndex] > current:
arr[preIndex+1] = arr[preIndex]
preIndex-=1
arr[preIndex+1] = current
return arr
希尔排序
希尔排序是基于插入排序的以下两点性质而提出改进方法的：
- 插入排序在对几乎已经排好序的数据操作时，效率高，即可以达到线性排序的效率；
- 但插入排序一般来说是低效的，因为插入排序每次只能将数据移动一位。
希尔排序的基本思想是：先将整个待排序的记录序列分割成为若干子序列分别进行直接插入排序，待整个序列中的记录基本有序时，再对全体记录进行依次直接插入排序。
- 选择一个增量序列 \(t_1, t_2,\cdots,t_k\)，其中 \(t_i > t_j\)，\(t_k = 1\)；
- 按增量序列个数 \(k\)，对序列进行 \(k\) 趟排序；
- 每趟排序，根据对应的增量 \(t_i\)，将待排序列分割成若干长度为 \(m\) 的子序列，分别对各子表进行直接插入排序；
- 仅增量因子为 1 时，整个序列作为一个表来处理，表长度即为整个序列的长度。
def shellSort(arr):
import math
gap = 1
while(gap < len(arr) / 3):
gap = gap * 3 + 1
while gap > 0:
for i in range(gap, len(arr)):
temp = arr[i]
j = i - gap
while j >= 0 and arr[j] > temp:
arr[j + gap] = arr[j]
j -= gap
arr[j + gap] = temp
gap = math.floor(gap / 3)
return arr
归并排序
- 申请空间，使其大小为两个已经排序序列之和，该空间用来存放合并后的序列；
- 设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置；
- 比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置；
- 重复步骤 3 直到某一指针达到序列尾；
- 将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾。
def mergeSort(arr):
import math
if(len(arr)<2):
return arr
middle = math.floor(len(arr)/2)
left, right = arr[0:middle], arr[middle:]
return merge(mergeSort(left), mergeSort(right))
def merge(left,right):
result = []
while left and right:
if left[0] <= right[0]:
result.append(left.pop(0))
else:
result.append(right.pop(0))
while left:
result.append(left.pop(0))
while right:
result.append(right.pop(0))
return result
快速排序
本质上来看，快速排序应该算是在冒泡排序基础上的递归分治法。
快速排序的最坏运行情况是 \(O(n^2)\)，比如说顺序数列的快排。但它的平摊期望时间是 \(O(n\log n)\)，且 \(O(n\log n)\) 记号中隐含的常数因子很小，比复杂度稳定等于 \(O(n\log n)\) 的归并排序要小很多。所以，对绝大多数顺序性较弱的随机数列而言，快速排序总是优于归并排序。
- 从数列中挑出一个元素，称为 "基准"（pivot）;
- 重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区退出之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作；
- 递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。
def quickSort(arr, left=None, right=None):
left = 0 if not isinstance(left,(int, float)) else left
right = len(arr)-1 if not isinstance(right,(int, float)) else right
if left < right:
partitionIndex = partition(arr, left, right)
quickSort(arr, left, partitionIndex-1)
quickSort(arr, partitionIndex+1, right)
return arr
def partition(arr, left, right):
pivot = left
index = pivot+1
i = index
while i <= right:
if arr[i] < arr[pivot]:
swap(arr, i, index)
index+=1
i+=1
swap(arr,pivot,index-1)
return index-1
def swap(arr, i, j):
arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]
堆排序
堆（heap），又被为优先队列（priority queue）， 是一种经过排序的完全二叉树，其任一非叶子节点的值均不大于（或不小于）其左孩子和右孩子节点的值。
- 将 \(O(n)\) 个元素逐一插入到一个空堆中，时间复杂度是 \(O(n\log n)\)；
heapify()的过程，时间复杂度是 \(O(n)\)，[参考]；
def buildMaxHeap(arr):
import math
for i in range(math.floor(len(arr) / 2), -1, -1):
heapify(arr,i)
def heapify(arr, i):
left = 2 * i + 1
right = 2 * i + 2
largest = i
if left < arrLen and arr[left] > arr[largest]:
largest = left
if right < arrLen and arr[right] > arr[largest]:
largest = right
if largest != i:
swap(arr, i, largest)
heapify(arr, largest)
def swap(arr, i, j):
arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]
def heapSort(arr):
global arrLen
arrLen = len(arr)
buildMaxHeap(arr)
for i in range(len(arr) - 1, 0, -1):
swap(arr,0,i)
arrLen -= 1
heapify(arr, 0)
return arr
计数排序
计数排序的核心在于将输入的数据值转化为键存储在额外开辟的数组空间中。作为一种线性时间复杂度的排序，计数排序要求输入的数据必须是有确定范围的整数。
def countingSort(arr, maxValue):
bucketLen = maxValue+1
bucket = [0]*bucketLen
sortedIndex =0
arrLen = len(arr)
for i in range(arrLen):
if not bucket[arr[i]]:
bucket[arr[i]]=0
bucket[arr[i]]+=1
for j in range(bucketLen):
while bucket[j]>0:
arr[sortedIndex] = j
sortedIndex+=1
bucket[j]-=1
return arr
桶排序
桶排序是计数排序的升级版。它利用了函数的映射关系，高效与否的关键就在于这个映射函数的确定。为了使桶排序更加高效，我们需要做到这两点：
- 在额外空间充足的情况下，尽量增大桶的数量；
- 使用的映射函数能够将输入的 \(N\) 个数据均匀的分配到 \(K\) 个桶中。
基数排序
基数排序是一种非比较型整数排序算法，其原理是将整数按位数切割成不同的数字，然后按每个位数分别比较。由于整数也可以表达字符串（比如名字或日期）和特定格式的浮点数，所以基数排序也不是只能使用于整数。
- 基数排序：根据键值的每位数字来分配桶；
- 计数排序：每个桶只存储单一键值；
- 桶排序：每个桶存储一定范围的数值；
浙公网安备 33010602011771号