转： KM算法 - cleverbiger

转自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_691ce2b701016reh.html

先说KM算法求二分图的最佳匹配思想，再详讲KM的实现。
【KM算法求二分图的最佳匹配思想】

对于具有二部划分( V1, V2 )的加权完全二分图，其中 V1= { x1, x2, x3, ... , xn }， V2= { y1, y2, y3, ... , yn }，边< xi, yj >具有权值 W_{i,j 。}该带权二分图中一个总权值最大的完美匹配，称之为最佳匹配。

记 L(x) 表示结点 x 的标记量，如果对于二部图中的任何边<x,y>，都有 L(x)+ L(y)>= W_x,y，我们称 L 为二部图的可行顶标。

设 G(V,E) 为二部图， G'(V,E') 为二部图的子图。如果对于 G' 中的任何边<x,y> 满足， L(x)+ L(y)== W_x,y，我们称 G'(V,E') 为 G(V,E) 的等价子图。

定理一：设 L 是二部图 G 的可行顶标。若 L 等价子图 G_L有完美匹配 M，则 M 是 G 的最佳匹配。

证明：由于 G_L 是 G 的等价子图，M 是 G_L 的完美匹配，所以，M 也是 G 的完美匹配。以由于对于匹配 M 的每条边 e ，都有 e∈ E( G_L )，而且 M 中每条边覆盖每个顶点正好一次，所以

W( M )= å W(e), e∈ M = å L(x), x∈ V

另一方面，对于 G 的任何完美匹配 M' 有

W( M' )= å W(e), e∈ M' <= å L(x), x∈ V

于是 W( M )>= W( M' )，即 M 是 G 的最优匹配。

由上述定理，我们可以通过来不断修改可行顶标，得到等价子图，从而求出最佳匹配。

就像匈牙利算法一样，我们依次为每一个顶点 i 寻找增广路径，如果寻找增广路径失败，我们就修改相应的可行顶标，来得到增广路径。

如图：

| 1 2 3 |

| 3 2 4 |

| 2 3 5 |

若要对这个完全二分图求最佳匹配

初始化：

Lx(1)= max{ y| w(1,y), 1<= y<= 3 }= max{ 1, 2, 3 }= 3, Ly(1)= 0

Lx(2)= max{ 3, 2, 4 }= 4, Ly(2)= 0

Lx(3)= max{ 2, 3, 5 }= 5, Ly(3)= 0;

我们建立等价子图( 满足 Lx(x)+ Ly(y)== W(x,y) ) 如下：

对于该图，运用匈牙利算法对 X 部顶点 1 求增广路径，得到一个匹配，如图( 红色代表匹配边 )：

对 X 部顶点 2 求增广路径失败，寻找增广路径的过程为 X 2-> Y 3-> X 1。我们把寻找增广路径失败的 DFS 的交错树中，在 X 部顶点集称之为 S，在 Y 部的顶点集称之为 T。则 S= { 1, 2 }，T= { 3 }。现在我们就通过修改顶标值来扩大等价子图，如何修改。

1) 我们寻找一个 d 值，使得 d= min{ (x,y)| Lx(x)+ Ly(y)- W(x,y), x∈ S, y∉ T }，因些，这时 d= min{

Lx(1)+Ly(1)-W(1,1), Lx(1)+Ly(2)-W(1,2), Lx(2)+Ly(1)-W(2,1), Lx(2)+Ly(2)-W(2,2) }=

min{ 3+0- 1, 3+0-2, 4+0-3, 4+0-2 }= min{ 2, 1, 1, 2 }= 1。

寻找最小的 d 是为了保证修改后仍满足性质对于边 <x,y> 有 Lx(x)+ Ly(y)>= W(x,y)。

2) 然后对于顶点 x

1. 如果 x∈ S 则 Lx(x)= Lx(x)- d。

2. 如果 x∈ T 则 Ly(x)= Ly(x)+ d。

3. 其它情况保持不变。

如此修改后，我们发现对于边<x,y>，顶标 Lx(x)+ Ly(y) 的值为

1. Lx(x)- d+ Ly(y)+ d， x∈ S, y∈ T。

2. Lx(x)+ Ly(y)， x∉ S, y∉ T。

3. Lx(x)- d+ Ly(y)， x∈ S, y∉ T。

4. Lx(x)+ Ly(y)+ d， x∉ S, y∈ T。

易知，修改后对于任何边仍满足 Lx(x)+ Ly(y)>= W(x,y)，并且第三种情况顶标值减少了 d，如此定会使等价子图扩大。

就上例而言: 修改后 Lx(1)= 2, Lx(2)= 3, Lx(3)= 5, Ly(1)= 0, Ly(1)= 0, Ly(2)= 0, Ly(3)= 1。

这时 Lx(2)+Ly(1)=3+0=3= W(2,1)，在等价子图中增加了一条边，等价子图变为：

如此按以上方法，得到等价子图的完美匹配。

另外计算 d 值的时候可以进行一些优化。

定义 slack(y)= min{ (x,y)| Lx(x)+ Ly(y)- W(x,y)，x∈ S, y∉ T }

这样能在寻找增广路径的时候就顺便将 slack 求出。

（以上为摘上网络）

【KM算法及其具体过程】
（1）可行点标：每个点有一个标号，记lx[i]为X方点i的标号，ly[j]为Y方点j的标号。如果对于图中的任意边(i, j, W)都有lx[i]+ly[j]>=W，则这一组点标是可行的。特别地，对于lx[i]+ly[j]=W的边(i, j, W)，称为可行边；
（2）KM 算法的核心思想就是通过修改某些点的标号（但要满足点标始终是可行的），不断增加图中的可行边总数，直到图中存在仅由可行边组成的完全匹配为止，此时这个匹配一定是最佳的（因为由可行点标的的定义，图中的任意一个完全匹配，其边权总和均不大于所有点的标号之和，而仅由可行边组成的完全匹配的边权总和等于所有点的标号之和，故这个匹配是最佳的）。一开始，求出每个点的初始标号：lx[i]=max{e.W|e.x=i}（即每个X方点的初始标号为与这个X方点相关联的权值最大的边的权值），ly[j]=0（即每个Y方点的初始标号为0）。这个初始点标显然是可行的，并且，与任意一个X方点关联的边中至少有一条可行边；
（3）然后，从每个X方点开始DFS增广。DFS增广的过程与最大匹配的Hungary算法基本相同，只是要注意两点：一是只找可行边，二是要把搜索过程中遍历到的X方点全部记下来（可以用vst搞一下），以进行后面的修改；
（4）增广的结果有两种：若成功（找到了增广轨），则该点增广完成，进入下一个点的增广。若失败（没有找到增广轨），则需要改变一些点的标号，使得图中可行边的数量增加。方法为：将所有在增广轨中（就是在增广过程中遍历到）的X方点的标号全部减去一个常数d，所有在增广轨中的Y方点的标号全部加上一个常数d，则对于图中的任意一条边(i, j, W)（i为X方点，j为Y方点）：
<1>i和j都在增广轨中：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不变，也就是这条边的可行性不变（原来是可行边则现在仍是，原来不是则现在仍不是）；
<2>i在增广轨中而j不在：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值减少了d，也就是原来这条边不是可行边（否则j就会被遍历到了），而现在可能是；
<3>j在增广轨中而i不在：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值增加了d，也就是原来这条边不是可行边（若这条边是可行边，则在遍历到j时会紧接着执行DFS(i)，此时i就会被遍历到），现在仍不是；
<4>i和j都不在增广轨中：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不变，也就是这条边的可行性不变。
这样，在进行了这一步修改操作后，图中原来的可行边仍可行，而原来不可行的边现在则可能变为可行边。那么d的值应取多少？显然，整个点标不能失去可行性，也就是对于上述的第<2>类边，其lx[i]+ly[j]>=W这一性质不能被改变，故取所有第<2>类边的 (lx[i]+ly[j]-W)的最小值作为d值即可。这样一方面可以保证点标的可行性，另一方面，经过这一步后，图中至少会增加一条可行边。
（5）修改后，继续对这个X方点DFS增广，若还失败则继续修改，直到成功为止；
（6）以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶标，每次修改顶标时由于要枚举边来求d值，复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数slack，每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与 A[i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点：修改顶标后，要把所有不在交错树中的Y顶点的slack值都减去d。

【求二分图的最小匹配】
只需把权值取反，变为负的，再用KM算出最大权匹配，取反则为其最小权匹配。

O(n^4)

#define N 510
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
struct Kuhn_Munkres
{
    int n, left[N], right[N], Lx[N], Ly[N], w[N][N];
    bool S[N], T[N];
    //修改顶标， 每次修改顶标， 要么直接找到增广路， 要么新增加两个点；
    void Init(int a)
    {
        n = a;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            for(int j = 1; j <= n; j++)
                scanf("%d", &w[i][j]);
    }
    void Update()
    {
        int a = 1<<30;
        //修改的顶标为S集合中的， 和!T==T-T1集合中的, 为了添加边， 分几种情况；
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            if(S[i])
                for(int j = 1; j <= n; j++)
                    if(!T[j])
                        a = min(a, Lx[i]+Ly[j]-w[i][j]);
        //S集合中顶标-a, T集合中顶标-a， 使得图G中仍满足Lx[i]+Ly[j]>=w[i][j];
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            if(S[i])
                Lx[i] -= a;
            if(T[i])
                Ly[i] += a;
        }
    }

    bool match(int i)
    {
        S[i] = true;
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(Lx[i]+Ly[j] == w[i][j] && !T[j])
            {
                T[j] = true;
                if(!left[j] || match(left[j])) //增广；
                {
                  //  right[i] = j;
                    left[j] = i;
                    return true;
                }
            }
        }
        return false;
    }
    void KM()
    {
        memset(right, -1, sizeof(right));
        //赋值， 要满足Lx[x]+Ly[y] >= w[x, y]; 所以取Lx[i]为边的节点有i的最长边；
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            Lx[i] = Ly[i] = left[i] = 0;
            for(int j = 1; j <= n; j++)
                Lx[i] = max(Lx[i], w[i][j]);
        }

        //进行匹配；
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            //S记录的是x部分被匹配的点； T记录的是y部分被匹配的点；
            while(1)
            {
                for(int j = 1; j <= n; j++)
                    S[j] = T[j] = 0;
                if(match(i))
                    break;
                else
                    Update();
            }
        }
    }
}km;
int main()
{
    return 0;
}

O(n^3)

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 510;   //MAXENODES;
const int M = 510;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

struct KM
{
    int n, m;
    int G[N][N];
    int Lx[N], Ly[N], slack[N];
    int left[N], right[N];  //right[N]; 记录后继；
    bool S[N], T[N];
    void Init(int a, int b)
    {
        this->n = n;
        this->m = m;
        memset(G, 0, sizeof(G));
    }
    void AddEdge(int u, int v, int val)
    {
        G[u][v] = val;
    }
    void update()
    {
        int a = INF;
        for(int i = 0; i < m; i++)
            if(!T[i])
                a = min(a, slack[i]);
        for(int i = 0; i < n; i++)
            if(S[i])
                Lx[i] -= a;
        for(int i = 0; i < m; i++)
            if(T[i])
                Ly[i] += a;
    }
    bool dfs(int u)
    {
        S[u] = true;
        for(int v = 0; v < m; v++)
        {
            if(T[v])
                continue;
            int temp = Lx[u]+Ly[v]-G[u][v];
            if(!temp)
            {
                T[v] = true;
                if(left[v]==-1 || dfs(left[v]))
                {
                    left[v] = u;
                    right[u] = v;
                    return true;
                }
            }
            else
                slack[v]=min(slack[v], temp);
        }
        return false;
    }
    int km()
    {
        memset(left, -1, sizeof(left));
        memset(right, -1, sizeof(right));
        memset(Ly, 0, sizeof(Ly));

        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            Lx[i] =  -INF;
            for(int j = 0; j < m; j++)
                Lx[i]=max(Lx[i], G[i][j]);
        }

        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            for(int j = 0; j < m; j++)
                slack[j] = INF;
            while(1)
            {
                memset(S, 0, sizeof(S));
                memset(T, 0, sizeof(T));
                if(dfs(i))
                    break;
                else
                    update();
            }
        }

        int ans = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            ans += G[i][right[i]];
        }
        return ans;
    }
}Km;
int main()
{
    return 0;
}

posted on 2016-01-10 17:34 cleverbiger 阅读(184) 评论(0) 收藏举报

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