【SCOI2009】游戏

题目链接:https://www.luogu.org/problem/P4161

  观察发现,操作次数可以为,且一定存在为:0到n;
  再观察,操作次数还可以为:把n个点分成“若干个环”后,“若干个环”大小的lcm。 这里,“若干个环”的大小就是组成它们的点的个数,而点的个数之和就是n。
  发现:直接找“累加起来小于等于n”的k个数的lcm的所有情况很难,于是正难则反:列举每个lcm ,lcm由k个数累积得到,且k个数的和是n。
  现在找一个合法答案:k个数的积大于n,且它们的和小于等于n。(小于n可以用那种自己对应自己的数补上)
  问题转变为:有多少种大于n的lcm,使得lcm的若干因子之和小于等于n。

  新出现的题目特性:对于一个lcm,它的因子有多种可能性,但是只要存在一种分解方案,使所有因子之和小于n,那么这个lcm就可行。

  那么现在考虑:对于给定的一个大于n的lcm,它的因子怎样能不合法——答案是使这些“因子”的和大于n。

  假设我们现在有k个合法因子,它们的积是给定的lcm,它们的和小于n。那么要把它们怎样变化,使得这“k个因子”朝着“不合法”的边界靠近?
  ——答案是把“k个因子”其中的那么一两个乘起来,这样这些数的和会大一些,朝着不合法的方向演变。
  既然知道了怎样向着不合法的方向演变,那也就知道了怎么向合法的方向演变——把k个因子中的所有合数分解成质数。这样我们就可以说:如果连这k'个质数的
和都大于了n,那么这个lcm肯定不行。

  好的,现在知道要把每个lcm唯一分解成质数了(这里可以顺带了解一下算数基本定理),但是目前我们只是知道要去找lcm。不可能一个个查找lcm吧?
  所以这里再来一次正难则反
  问题转变为:找出所有小于n的质数,并求出:用它们进行合法组合(累和小于等于n)产生的lcm的可能情况的最大个数。
  我们知道:三个互不相等的素数的两两积一定不相等,因此题目又成为:给定n的空间上限,求一个组合背包问题。

  于是这道题从一个数论题变成了背包问题。。

  该说不愧是紫题,能把一个背包打扮得这么好康。。

  模拟考的时候这题直接炸啦。。

  黑字为:我考试的时候没想到的东西

附代

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std; 
long long n; 
bool vv[1101];   //判断是否为合数 
long long v[1101];     //存素数 
long long flag;
long long dp[1101][1101];//dp[i][j]表示 前i个质数总和小于等于 j 的最大情况数 
void eratosthenes(long long x){//筛选n以前的质数 
    
    for(long long i=2; i<=n; i++){
        if(vv[i])continue;
        flag++;
        v[flag]=i;
        for(long long j=1;j<=n/i;j++){
            vv[i*j]=1;
        }
    }
}
int main(){
    cin>>n;
    if(n==1){        //为了这个点我RE了三次。。。 
        cout<<1;
        return 0;
    }
    eratosthenes(n); 
    sort(v+1,v+flag);

    for(long long i=0;i<=1100;i++){
        dp[0][i]=1;
        dp[i][0]=1;
    }
    for(long long i=1; i<=flag; i++){//这里dp数组可以压成近似一维,存j空间内可以有的lcm种数 
        for(long long j=1; j<=n; j++){//目前有j的空间 
            
            if(j<v[i]){
                dp[i][j]=dp[i-1][j];
                continue;
            }
            for(long long k=-1; pow(v[i],k)<=j; k++){
                if(k==0)continue;
                dp[i][j]+=dp[i-1][j-(long long)pow(v[i],k)];
                
            }
        }
    }
    cout<<dp[flag][n];
}

 

posted @ 2019-08-10 14:21  Snowysniper  阅读(128)  评论(0编辑  收藏  举报