P2679 子串

题目描述

有两个仅包含小写英文字母的字符串 A 和 B。

现在要从字符串 A 中取出 k 个互不重叠的非空子串，然后把这 k 个子串按照其在字符串 A 中出现的顺序依次连接起来得到一个新的字符串。请问有多少种方案可以使得这个新串与字符串 B 相等？

注意：子串取出的位置不同也认为是不同的方案。

输入格式

第一行是三个正整数 n,m,k分别表示字符串 A 的长度，字符串 B 的长度，以及问题描述中所提到的 k，每两个整数之间用一个空格隔开。

第二行包含一个长度为 n的字符串，表示字符串 A。

第三行包含一个长度为 m的字符串，表示字符串 B。

输出格式

一个整数，表示所求方案数。

由于答案可能很大，所以这里要求输出答案对1000000007取模的结果。

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    一道挺不错的dp，首先很容易想到用dp[i][j][k]表示从A串前i个字母选出k段与B串的前j项相同的方案数，显然：

dp[i][0][0]=1；

    接下来考虑如何转移，首先，A[i]可以不参与匹配：

dp[i][j][k]+=dp[i-1][j][k];

    其次，当(A[i]==B[j])时，我们可以把A[i]和B[j]单独匹配，也就是：

dp[i][j][k]+=dp[i-1][j-1][k-1];

    也可以把A[i]强行接在A[i-1]后面，形成一整个串，所以我们还需要知道以A[i-1]结尾的串与B串前j-1位匹配的方案数，显然这个值为：

dp[i-1][j-1][k]-dp[i-2][j-1][k]；

    所以我们得到：

dp[i][j][k]+=dp[i-1][j][k];

dp[i][j][k]+=dp[i-1][j-1][k-1]+dp[i-1][j-1][k]-dp[i-2][j-1][k]；（A[i]==B[j]）

    算一下时间O（n*m*k）≈4e7，貌似可以接受，但是空间为320MB，考虑到每一层循环都只用到了i，i-1和i-2，所以我们只运用滚动数组需要保留三项即可。

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#define mod 1000000007
#define maxn 2005
using namespace std;

int read()
{
    int res=0,x=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')
    {
        if(c=='-')
        x=-1;
        c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9')
    {
        res=res*10+(c-'0');
        c=getchar();
    }
    return res*x;
}

int n,m,t;
long long f[3][205][205];
char a[maxn],b[maxn];

int main()
{
    n=read();m=read();t=read();
    scanf("%s",a+1);scanf("%s",b+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        memset(f[i%3],0,sizeof(f[i%3]));
        f[0][0][0]=f[1][0][0]=f[2][0][0]=1;
        for(int j=1;j<=m;j++)
        for(int k=1;k<=min(j,t);k++)
        {
            if(a[i]==b[j])
            {
                f[i%3][j][k]=(f[i%3][j][k]+f[(i-1)%3][j-1][k]+f[(i-1)%3][j-1][k-1])%mod;
                if(i>=2) f[i%3][j][k]=((f[i%3][j][k]-f[(i-2)%3][j-1][k])%mod+mod)%mod;
            }
            f[i%3][j][k]=(f[i%3][j][k]+f[(i-1)%3][j][k])%mod;
        }
    }
    printf("%d\n",f[n%3][m][t]);
    return 0;
}