P1168 中位数（权值线段树）

前言

在一场著名的名叫 SCP2021 的考试中，本雪使用对顶堆险些切掉了 T1（只是第一个堆的重载小于号的标准写错了）。而卷王苏奆奆却祭出了一个名叫权值线段树的 so-called advanced 数据结构（因为没有排序痛失切题良机），让本雪无比倾心，在经过了漫长的岁月之后，阅尽沧桑，本雪终于来学习了这个并不太难的数据结构。

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传送门：权值线段树

Sol

本题就是一个类似于静态区间维护排名为 k 的值（只不过特殊化成了中位数）。权值线段树，顾名思义，就是把权值的数量建成一棵线段树，每个节点表示的是权值在该节点的区间范围内的数的数量（非常好理解的）。例如，区间 \([3,5]\) 表示的就是权值为 3,4,5 的数的数量。然后这个题，根据数据范围 \(a_i\leq 10^9\),对其进行离散化之后，直接建一棵权值线段树，然后单点修改，区间查询就可以啦。区间查询的时候如果是树状数组需要二分，而权值线段树本身就具有区间二分的性质，直接不断向下到左儿子区间或右儿子区间寻找即可。时间复杂度 \(O(nlogn)\)。（注：本题也可以使用对顶堆，请自行尝试。）

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100000 + 10;
int n,tot;
int tree[4*N],a[N],p[N];
void pushup(int p)
{
	tree[p] = tree[p << 1] + tree[p << 1 | 1];
}
void change(int p,int l,int r,int k)
{
	if(l == r)
	{
		tree[p]++;
		return ;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(mid >= k) change(p << 1,l,mid,k);
	else change(p << 1 | 1,mid + 1,r,k);
	pushup(p);
}
int query(int p,int l,int r,int k)
{
	if(l == r) return l;
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(tree[p << 1] >= k) return query(p << 1,l,mid,k);
	else return query(p << 1 | 1,mid + 1,r,k - tree[p << 1]);
}
void dec()
{
	sort(a + 1,a + n + 1);
	tot = unique(a + 1,a + n + 1) - a - 1;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	    p[i] = lower_bound(a + 1,a + tot + 1,p[i]) - a;
}
signed main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		p[i] = a[i];
	}
	dec();
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		change(1,1,tot,p[i]);
		if(i & 1) printf("%d\n",a[query(1,1,tot,(i + 1) / 2)]);
	}
	return 0;
}