HDU Alice Game

HDU Alice Game

题意

有 \(n\) 个位置，给定 \(k\)，两人轮流操作。

1.选择长度小于等于 \(k\) 的连续非空位置删除。
2.选择连续 \(k\) 个非空位置删除，要求删除出后所在的连续段变为非空的2个连续段。

无法操作者输，为谁必胜。

题解

不是很会博弈论，但还是打表切了。
用类似 1010 的形式来表示一个局面，用 \(sg(n,k)\) 全为 \(1\)，给定 \(k\) 的 \(SG\) 函数值。
从一个小例子来看出该怎么做,此时 \(n=4,k=2\) 。
1111->1001
显然只能这样转移至后继局面。
注意到两边的 \(1\) 其实相当于 \(n=1\) 的全 \(1\) 情况，两边来操作其实就是一个组合游戏。
所以就进入了一个子问题，可以扩展到多个的情况，可得：

\[sg(n,k) = mex_{i=1}^{n-k-1} sg(i,k) \oplus sg(n-k-i,k) \]

边界情况为：

\[\begin{cases} n \leq k,sg(n,k)=1\\ n = k+1,sg(n,k)=0\\ \end{cases} \]

然后打个表就能发现规律，结论为：
若 \(n \leq k\)，则先手必胜。
否则 $n-k \equiv 1 \pmod{2+4k} $，成立则后手必胜，反之先手必胜。
特判 \(0\) 。
正解有点 \(hard\)，待补。