luogu P6187 [NOI Online 提高组]最小环

\(k=0\)请自行特判

对于一个\(k\),我们给所有\(i\)连边\((i,(i+k-1)\bmod n+1)\),这样就会形成\(\gcd(n,k)\)个环,每个环长度为\(\frac{n}{\gcd(n,k)}\),那么我们就是要把数放在环上,使得所有相邻两个数的乘积的和最大.这里有两个结论:

• 对于一个环,把环内的数从大到小排序,然后依次放入,放的时候要使得放过的数是连续的一段,并且接下来放进来的数要放在连续段更大的端点旁边

一般的,考虑一个乱序的环,然后通过交换一些数的位置增量模拟上述过程.后面有\(a\ge b\ge c\ge d\),\(b\ge e\),且\(a,b,c\)三数的大小排名相邻.假设我们现在已经放好了段\([a...b]\),接下来一个要放的数为\(c\),相当于有\(\cdots e,c,\cdots d,a,\cdots b,\cdots\)(这里可能会出现\(d,e\)就是\(b\)或\(c\)的情况,但是不影响证明),那么我们把\([c,d]\)段整体翻转,可以发现答案的变化量为\(ac+de-ad-ce=a(c-d)+e(d-c)=(a-e)(c-d)\),因为\(a\ge e,c\ge d\),所以可以推出答案变化量不小于\(0\).那么这样一直做到不能做就可以得到最优解

• 把数从小到大排序,那么前\(\frac{n}{\gcd(n,k)}\)个数会放在一个环内,接下来\(\frac{n}{\gcd(n,k)}\)个数会放在一个环内...依此类推

否则,我们每次找到两个环,记最小值更小的环为\(A\)环,另外一个为\(B\)环,然后假设满足\(A\)环的前\(x\)大的数\(\ge\ B\)环前\(x\)小的数,那么现在把这些数分别换到另一个环里.我们先把两个环的元素按照环内排序的方法排序,然后对应要换的\(x\)个数在两个环上都是连续一段,且换到另一个环上后会变成\(A\)环最大的\(x\)个或是\(B\)环最小的\(x\)个.那么考虑再答案的变化量,设\(A\)环上被换出的段为\([a...b]\),在环上的情况为\(\cdots c,a\cdots b,d\cdots\),设\(B\)环上被换出的段为\([e...f]\),在环上的情况为\(\cdots g,e\cdots f,h\cdots\),这里显然有\(a\ge e,b\ge f,c\le g,d\le h\),那么写出交换后答案变化量\(ag+bh+ec+fd-ac-bd-eg-fh=a(g-c)+b(h-d)+e(c-g)+f(d-h)=(a-e)(g-c)+(b-f)(h-d)\),同样的这个变化量\(\ge 0\).一直这样做可以发现答案一定不减,做到做不了就是最优解了

所以确定了一个\(k\),可以按照上述方法去放,就是\(O(n)\)的.由于可以\(\gcd(n,k)\)数量只有\(O(d(n))\)中,所以处理出每种\(\gcd(n,k)\)的答案即可,复杂度\(O(nd(n))\),可以通过