luogu P4916 魔力环

传送门

表示这种\(Burnside\)定理之类的东西一用就忘qwq

题目要求不同染色方案数,因为变换方式只有旋转,所以只有\(n\)个置换,然后可能会出现某种方案有循环节,这个循环节长度显然要是\(\gcd(n,m)\)的因数,我们枚举循环节个数,直接套个polya然后可以得到答案为\(\frac{\sum_{d|\gcd(n,m)}f(\frac{n}{d},\frac{m}{d})\varphi(d)}{n}\),其中\(f(n,m)\)为有\(n\)个珠子,要把\(m\)个染色,并且满足最长连续的黑色个数以及首尾黑色个数\(\le k\)的方案

这个东西,可以考虑把白色的珠子提出来,然后枚举首尾放了多少个黑色\(i\),这样有\(i+1\)种方案,剩下的黑色就要放在\(n-m-1\)个空位中,并且满足一个空位不超过\(k\)个黑色.这个可以容斥,枚举一些位置已经超过\(k\)个,然后剩下随便放.这个式子长这样:$$\sum_{i=0}^{{k}(i+1)\sum_{j=0}}(-1)^j\binom{n-m-1}{j}g(m-i-j*(k+1),n-m-1)$$

其中\(g(n,m)\)表示\(n\)个一样的物品放进\(m\)个不一样的盒子的方案数,也就是\(\binom{n+m-1}{m-1}\)

代码巨丑

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define db long double
#define il inline
#define re register

using namespace std;
const int N=1e5+10,mod=998244353;
il LL rd()
{
    LL x=0,w=1;char ch=0;
    while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
    return x*w;
}
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
int fac[N],iac[N];
int C(int n,int m){return m<0||n<m?0:1ll*fac[n]*iac[m]%mod*iac[n-m]%mod;}
int fpow(int a,int b){int an=1;while(b){if(b&1) an=1ll*an*a%mod;a=1ll*a*a%mod,b>>=1;} return an;}
int n,m,nn,kk,prm[20],nm[20],tt,ans;
int wk(int n,int m)
{
	if(m<=kk) return C(n,m);
	int an=0,l=n-m-1;
	for(int i=0;i<=kk;++i)
	{
		int nw=0;
		for(int j=0;j<=l&&m-i-j*(kk+1)>=0;++j)
		{
			int x=1ll*C(l,j)*C(m-i-j*(kk+1)+l-1,l-1)%mod;
			nw=(nw+((j&1)?mod-x:x))%mod;
		}
		an=(an+1ll*nw*(i+1)%mod)%mod;
	}
	return an;
}
void dfs(int o,int d,int phi)
{
	if(o>tt)
	{
		ans=(ans+1ll*wk(n/d,m/d)*phi%mod)%mod;
		return;
	}
	dfs(o+1,d,phi);
	for(int i=1;i<=nm[o];++i)
	{
		d*=prm[o];
		dfs(o+1,d,phi*(prm[o]-1)*fpow(prm[o],i-1));
	}
}

int main()
{
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=N-10;++i) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
	iac[N-10]=fpow(fac[N-10],mod-2);
	for(int i=N-10;i;--i) iac[i-1]=1ll*iac[i]*i%mod;
	n=rd(),m=rd(),kk=rd();
	if(n==m) return printf("%d\n",(bool)!kk),0;
	nn=gcd(n,m);
	int x=nn,sqt=sqrt(nn);
	tt=0;
	for(int i=2;i<=sqt&&x>1;++i)
		if(x%i==0)
		{
			prm[++tt]=i,nm[tt]=0;
			while(x%i==0) ++nm[tt],x/=i;
		}
	if(x>1) prm[++tt]=x,nm[tt]=1;
	ans=0,dfs(1,1,1);
	printf("%lld\n",1ll*ans*fpow(n,mod-2)%mod);
    return 0;
}