luogu P3726 [AH2017/HNOI2017]抛硬币

传送门

我是真的弱,看题解都写了半天,,,

这题答案应该是\(\sum_{i=1}^{a}\binom{a}{i}\sum_{j=0}^{min(b,i-1)}\binom{b}{j}\)

上面那个式子无法化简qwq

把A和b的抛硬币情况连在一起,记成一个01串,那么如果某个串代表B获胜,那么这个串的反串就能代表A获胜

如果\(a=b\),那么答案还要减去平局情况,即$$\frac{2^{a+b}-\binom{a+b}{a}}{2}$$

如果\(a>b\),那么有种特殊情况是代表A获胜的某个串反串还是代表A获胜,这种情况假设B硬币朝上个数为\(i\),A的朝上个数比B多\(i\),那么有\(b-i<a-i-j\),情况数量有$$\sum_{i=0}^{{b}\sum_{j=1}}\binom{a}{i+j}\binom{b}{i}$$个,也就是$$\sum_{i=0}^{{b}\sum_{j=1}}\binom{a}{i+j}\binom{b}{b-i}$$然后有个什么范德蒙德卷积,就是\(\sum_{i+j=k}\binom{a}{i}\binom{b}{j}=\binom{a+b}{k}\),所以上式化简为$$\sum_{i=1}^{a-b-1}\binom{a+b}{b+i}$$
答案即$$\frac{2^{{a+b}+\sum_{i=1}}\binom{a+b}{b+i}}{2}$$

然后因为模数不为质数,所以组合数要用\(exlucas\)求

注意在实现的时候要优化时间复杂度,例如预处理模2和模5的阶乘等

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define il inline
#define re register
#define db double

using namespace std;
il LL rd()
{
  LL x=0,w=1;char ch=0;
  while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
  return x*w;
}
LL a,b,k,K,k2,k5;
LL fc[2][2000000];
int pm[30][2],tt;
il LL fpow(LL a,LL b,LL mod)
{
  LL an=1;
  while(b){if(b&1) an=an*a%mod;a=a*a%mod,b>>=1;}
  return an;
}
il void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
  if(!b) {x=1,y=0;return;} 
  exgcd(b,a%b,y,x);
  y-=a/b*x;
}
il LL ginv(LL a,LL b)
{
  LL x,y;
  exgcd(a,b,x,y);
  return (x%b+b)%b;
}
il LL fac(LL n,LL p1,LL pk)
{
  if(n<=1) return 1;
  LL an=fpow(fc[p1&1][pk],n/pk,pk)*fc[p1&1][n%pk]%pk;
  return an*fac(n/p1,p1,pk)%pk;
}
il LL C(LL n,LL m,LL p1,LL pk,bool d2)
{
  LL kk=0;
  for(LL i=n;i;i/=p1) kk+=i/p1;
  for(LL i=m;i;i/=p1) kk-=i/p1;
  for(LL i=n-m;i;i/=p1) kk-=i/p1;
  if(kk-1>=k) return 0; //kk-1>=k,所以a*p^kk=0(mod p^k)
  if(d2)
    {
      if(p1&1) kk=fpow(p1,kk,pk)*ginv(2,pk)%pk;
      else kk=fpow(p1,kk-1,pk);
    }
  else kk=fpow(p1,kk,pk);
  return fac(n,p1,pk)*ginv(fac(m,p1,pk),pk)%pk*ginv(fac(n-m,p1,pk),pk)%pk*kk%pk;
}
il LL exlcs(LL n,LL m,bool d2)
{
  return (C(n,m,2,k2,d2)*k5%K*ginv(k5,k2)%K+C(n,m,5,k5,d2)*k2%K*ginv(k2,k5)%K)%K;
}
il void init(int a,int b)
{
  int px=a&1;
  fc[px][0]=1;
  for(int i=1;i<=b;++i)
    {
      fc[px][i]=fc[px][i-1];
      if(i%a) fc[px][i]=fc[px][i]*i%b;
    }
}   //预处理fac函数中的计算部分
il void print(int x,int kk)
{
  kk/=10;
  while(kk) putchar(x/kk%10+'0'),kk/=10;
  putchar('\n');
}

int main()
{
  init(2,512),init(5,1953125);
  while(scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&k)!=-1)
    {
      K=k2=k5=1;
      int kb=k;while(kb--) K*=10,k2*=2,k5*=5;
      if(a==b) print((fpow(2,a+b-1,K)-exlcs(a+b,a,1)+K)%K,K);
      else
        {
          LL an=fpow(2,a+b-1,K);
          for(LL i=b+1;i<=(a+b)/2;++i)
            an=(an+exlcs(a+b,i,0)%K)%K; //根据C(a,b)=C(a,a-b)省去一半计算
          if(!((a+b)&1)) an=(an-exlcs(a+b,(a+b)/2,1)+K)%K;  
          print(an,K);
        }
    }
  return 0;
}