【题解】P8865 [NOIP2022] 种花

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题目大意

有一个 \(n\times m\) 的花园，\(a_{i,j}=1\) 表示可以种花，\(a_{i,j}=0\) 表示不可以种花，请求出有多少种种花的的方案，使得形成 C 或 F 的形状，\(n,m\le 10^3\)。

思路分析

观察 C 和 F，发现 F 可以认为是 C 的左下角加一笔竖画，所以先求 C。

求形成 C 的方案数

枚举 C 的左上角的点和左下角的点，即枚举第 \(j\) 列，黄色点在这一列的第 \(x\) 行，蓝色点在这一列的第 \(y\) 行，然后计算一下黄色点能往右延伸几格，蓝色点能往右延伸几格，相乘即可。这一步可以用后缀和 \(r_{i,j}\) 来实现。

for(int i=1;i<=n;i++){
	for(int j=m;j>=1;j--){
		if(a[i][j]=='1'){
			r[i][j]=0;
           }else{
			r[i][j]=r[i][j+1]+1;
		}
	}
}
for(int j=1;j<=m;j++){
    for(int x=1;x<=n;x++){
        for(int y=x+2;y<=n;y++){
            if(a[x][j]=='1'){
                break;
            }
            ansc=ansc+(r[x][j]-1)*(r[y][j]-1);
        }
    }
}

计算时 \((r_{x,j}-1)\times(r_{y,j}-1)\) 不好看，所以预处理后缀和后非 \(0\) 的 \(r_{i,j}\) 都减去 \(1\) 就行了。

for(int i=1;i<=n;i++){
	for(int j=m;j>=1;j--){
		if(a[i][j]=='1'){
			r[i][j]=0;
           }else{
			r[i][j]=r[i][j+1]+1;
		}
	}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
	for(int j=m;j>=1;j--){
		if(r[i][j]!=0){
			r[i][j]--;
		}
	}
}
for(int j=1;j<=m;j++){
    for(int x=1;x<=n;x++){
        for(int y=x+2;y<=n;y++){
            if(a[x][j]=='1'){
                break;
            }
            ansc=ansc+r[x][j]*r[y][j];
        }
    }
}

后缀和时间复杂度为 \(\mathcal{O(nm)}\)，计算的时间复杂度为 \(\mathcal{O(n^2m)}\)，代码的时间复杂度为 \(\mathcal{O(n^2m)}\)，超时。

继续观察计算的三重循环，发现计算时只有 \(r_{y,j}\) 发生变化，可以再用一个后缀和维护后缀和 \(r_{i,j}\)，记为 \(suf_{i,j}\)，省去第三重循环 \(y\)。

for(int i=n;i>=1;i--){
	for(int j=1;j<=m;j++){
		suf[i][j]=suf[i+1][j]+r[i][j];
	}
}
for(int j=1;j<=m;j++){
	int lst=n+1;
	for(int x=n;x>=1;x--){
		if(a[x][i]=='1'){
			lst=x;
			continue;
		}
		if(lst<x+2){
			continue;
		}
		ansc=ansc+(suf[x+2][i]-suf[lst][i])*r[x][i];
	}
}

这样，时间复杂度降为 \(\mathcal{O(nm)}\)，不超时。

求形成 C 的方案数

与 C 类似，同样先枚举 F 的左上角的点和第二条杠左边的点，即枚举第 \(j\) 列，黄色点在这一列的第 \(x\) 行，蓝色点在这一列的第 \(y\) 行，然后计算一下黄色点能往右延伸几格，蓝色点能往右延伸几格，还计算蓝色点能向下延伸格，相乘即可。向右和 C 的后缀和 \(r_{i,j}\) 相同，向下再用后缀和数组 \(d_{i,j}\) 实现。

for(int i=n;i>=1;i--){
	for(int j=1;j<=m;j++){
		if(a[i][j]=='1'){
			d[i][j]=0;
		}else{
			d[i][j]=d[i+1][j]+1;
		}
	}
}
for(int i=n;i>=1;i--){
	for(int j=1;j<=m;j++){
		if(d[i][j]!=0){
			d[i][j]--;
		}
	}
}
for(int j=1;j<=m;j++){
    for(int x=1;x<=n;x++){
        for(int y=x+2;y<=n;y++){
            if(a[x][j]=='1'){
                break;
            }
            ansf=ansf+r[x][j]*r[y][j]*d[y][j];
        }
    }
}

后缀和时间复杂度为 \(\mathcal{O(nm)}\)，计算的时间复杂度为 \(\mathcal{O(n^2m)}\)，代码的时间复杂度为 \(\mathcal{O(n^2m)}\)，超时。

计算时有 \(r_{y,j}\times d_{y,j}\) 发生变化，可以再用一个后缀和维护 \(r_{i,j}\times d_{y,j}\)，记为大 \(Suf_{i,j}\)，省去第三重循环 \(y\)。

for(int i=n;i>=1;i--){
	for(int j=1;j<=m;j++){
		Suf[i][j]=Suf[i+1][j]+r[i][j]*d[i][j];
	}
}
for(int i=1;i<=m;i++){
	int lst=n+1;
	for(int x=n;x>=1;x--){
		if(a[x][i]=='1'){
			lst=x;
			continue;
		}
		if(lst<x+2){
			continue;
		}
		ansf=ansf+(Suf[x+2][i]-Suf[lst][i])*r[x][i];
	}
}

这样，时间复杂度降为 \(\mathcal{O(nm)}\)，不超时。

最后，注意取模 \(998244353\)，还有多测要清空，不开 long long 见祖宗。

\(\texttt{code}\)

/*Written by smx*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define QAQ cout<<"QAQ\n";
const int MAXN=1e3+5,inf=1e18,mod=998244353;
int n,m,C,F,ansc,ansf;
char a[MAXN][MAXN];
int r[MAXN][MAXN],suf[MAXN][MAXN],d[MAXN][MAXN],Suf[MAXN][MAXN];
void init(){
	ansc=ansf=0;
	for(int i=1;i<=n+1;i++){
		for(int j=1;j<=m+1;j++){
			r[i][j]=suf[i][j]=d[i][j]=Suf[i][j]=0;
		}
	}
}
signed main(){
	//freopen(".in","r",stdin);
	//freopen(".out","w",stdout);
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	int T,id;
	cin>>T>>id;
	while(T--){
		init();
		cin>>n>>m>>C>>F;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=m;j++){
				cin>>a[i][j];
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=m;j>=1;j--){
				if(a[i][j]=='1'){
					r[i][j]=0;
				}else{
					r[i][j]=r[i][j+1]+1;
				}
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=m;j>=1;j--){
				if(r[i][j]!=0){
					r[i][j]--;
				}
			}
		}
		for(int i=n;i>=1;i--){
			for(int j=1;j<=m;j++){
				suf[i][j]=(suf[i+1][j]+r[i][j])%mod;
			}
		}
		for(int i=1;i<=m;i++){
			int lst=n+1;
			for(int x=n;x>=1;x--){
				if(a[x][i]=='1'){
					lst=x;
					continue;
				}
				if(lst<x+2){
					continue;
				}
				ansc=(ansc+(suf[x+2][i]-suf[lst][i]+mod)%mod*r[x][i]%mod)%mod;
			}
		}
		for(int i=n;i>=1;i--){
			for(int j=1;j<=m;j++){
				if(a[i][j]=='1'){
					d[i][j]=0;
				}else{
					d[i][j]=d[i+1][j]+1;
				}
			}
		}
		for(int i=n;i>=1;i--){
			for(int j=1;j<=m;j++){
				if(d[i][j]!=0){
					d[i][j]--;
				}
			}
		}
		for(int i=n;i>=1;i--){
			for(int j=1;j<=m;j++){
				Suf[i][j]=(Suf[i+1][j]+r[i][j]*d[i][j]%mod)%mod;
			}
		}
		for(int i=1;i<=m;i++){
			int lst=n+1;
			for(int x=n;x>=1;x--){
				if(a[x][i]=='1'){
					lst=x;
					continue;
				}
				if(lst<x+2){
					continue;
				}
				ansf=(ansf+(Suf[x+2][i]-Suf[lst][i]+mod)%mod*r[x][i])%mod;
			}
		}
		cout<<ansc*C%mod<<" "<<ansf*F%mod<<"\n";
	}
	return 0;
}