关于质数和约数
质数
质数和合数是针对所有大于 1 的 “自然数” 来定义的（所有小于等于1的数都不是质数）。质数，又叫素数，指的是一个数除了1和它本身没有其他的约数。
试除法求质数
试除法的原理是一个数的约数总是成对出现，因此我们判断一个数是否为质数的时候，只需要判断较小的那一个数能否整除该数就行了
```clike
```cpp
#include<iostream>
using namespace std;
bool IsPrime(int x)
{
if (x < 2) return false;
for (int i = 2; i <= x / i; i++)//i<=x/i是最好的写法
//之前我都是写成sqrt(x),但是如果这样写,每次判断i是否小于sqrt(x)都要调用sqrt这个函数，造成时间的浪费
//之前也见过i*i<x，这样写法也不好，如果i*i数据超范围了，那么就会变成负数，这样是有问题的
if (x % i == 0) return false;
return true;
}
int main()
{
int n, a;
cin >> n;
while (n--)
{
cin >> a;
if (IsPrime(a)) cout << "Yes" << endl;
else cout << "No" << endl;
}
return 0;
}
分解质因数
质因子（质因数）在数论里是指能整除给定正整数的质数。
有几点要注意：
- 一个数n分解而成的质因数最多只包含一个大于sqrt（n）的质因数（反证法：假设可以分成两个大于sqrt（n）的质因数，这两个质因数相乘大于n，矛盾）
- 遍历过程中i一定是因数，因为如果i是合数，那么i的因数一定小于i，在之前的遍历过程中[2,i-1]已经出现了，那当前这个合数i早就被分解了。比如数12的因数有1，2，3，4，6，12，当i遍历到2，12/2=6，6/2=3,所以i无法遍历到6和12，6和12的因数在之前就已经出现了，并把6，12拆掉了，所以i遍历过程中一定是质数。（这个就是下面代码里循环的关键原因）
- 拓展：两个没有共同质因子的正整数称为互质。因为 1 没有质因子，1 与任何正整数（包括 1 本身）都是互质。
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int a, n;
cin >> n;
while (n--) {
cin >> a;
for (int i = 2; i <= a / i; i++) {
if (a % i == 0) {
int cnt = 0;
while (a % i == 0) cnt++, a /= i;
cout << i << " " << cnt << endl;
}
}
if (a > 1) cout << a << " " << 1 << endl;
//一个数a分解而成的质因数最多只包含一个大于sqrt（a）的质因数
cout << endl;
}
return 0;
}
筛质数（埃氏筛）
把[2,n−1] 中的所有的数的倍数都标记上，最后没有被标记的数就是质数.
一个数a的因数一定小于等于这个数，那么当对该数进行判断时，如果该数未被标记就说明[2,a-1]都不是该数的因数，那么该数就是质数。
计算朴素筛法（对于每一个数都把它的倍数标记）的时间复杂度：对于一个数a，n个数中是a的倍数的有n/a个
所以 时间复杂度n/2+n/3+n/4+…+n/n=n( 1/2+1/3+1/4+1/5+…+1/n)=nlnn+c（ c 是欧拉常数，约等于 0.577 左右） ln n<log n
时间复杂度记为 O(nlog n)（注：此处的 log特指以 2 为底）
而埃氏筛只用质数去筛
质数定理：1-n中有n/ln n个质数
时间复杂度O（nloglogn)
题目链接–筛质数
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 5;
bool vis[N];
int main()
{
int n, cnt = 0;
cin >> n;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (!vis[i]) {
cnt++;
for (int j = i+i; j <= n; j += i) vis[j] = true;
}
}
cout << cnt;
return 0;
}
线性筛
实际应用中一般选择线性筛，为什么呢？
若n≈106n≈106，线性筛和埃氏筛的时间效率差不多，若 n≈107n≈107，线性筛会比埃氏筛快了大概一倍。
线性筛这个算法的核心在于一个数只能被它的最小质因数筛掉。
vis[i * prime[j]] = true;
if (i % prime[j] == 0) break;
这一步是干什么的呢，如果i % prime[j] = = 0，prime[j]<i,prime[j]只能是i的最小质因数，也是i*prime[j]的最小质数（prime里面的质数是由小到大存储的，只有当前的prime[j]能整除i，先前的prime都不能，所有先前的都不是i的因数，而后面的prime[j]也不可能作为i的最小质因数后面的prime比当前的prime[j]大），可以直接break了
当i % prime[j] != 0时，也就是说prime[j]比i的最小质因数小，且prime[j]是prime[j]*i的因数，所以prime[j]就是prime[j]*i的最小质因数
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 5;
bool vis[N];
int prime[N];
int main()
{
int n, cnt = 0;
cin >> n;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (!vis[i]) prime[cnt++] = i;
for (int j = 0; prime[j] <= n / i; j++) {
//这里判断条件不需要再加一个j<cnt,因为prime[cnt-1]就是当前的最大质数，如果i不是质
//数，之前就会break，如果i是质数，那么i==prime[cnt-1]，也保证j<cnt;
vis[i * prime[j]] = true;
if (i % prime[j] == 0) break;
}
}
cout << cnt;
return 0;
}
约数
试除法求约数
#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
bool cmp(int a, int b) {
return a < b;
}
int main()
{
int n, a;
cin >> n;
while (n--) {
vector<int>v;
cin >> a;
for(int i=1;i<=a/i;i++)
if (a % i == 0) {
v.push_back(i);
if (i != a / i) v.push_back(a/i);
}
sort(v.begin(), v.end(), cmp);
for (auto x : v) cout << x << " ";
cout << endl;
}
return 0;
}
求约数个数
如果 N = p1^c1 * p2^c2 * … *pk^ck
约数个数： (c1 + 1) * (c2 + 1) * … * (ck + 1)
说一下找个公式怎么推导来的吧
p1…pk是该数的质因数，该数的任何一个因数都可以由任意的质因数构成，也就是说该数的因数可以从p1取任意个乘以p2取任意个…
对于p1的取法有0个1个…c1个，所以共c1+1种
一个数的因数就是对p1,p2,p3…pk任取，所以是 (c1 + 1) * (c2 + 1) * … * (ck + 1)个约数
题目链接–约数的个数
#include<iostream>
#include<map>
using namespace std;
const int M = 1e9 + 7;
int main()
{
map<int, int>m;
int n, a;
cin >> n;
while (n--) {
cin >> a;
for (int i = 2; i <= a / i; i++) {
while (a % i == 0) m[i]++, a /= i;
}
if (a > 1) m[a]++;//这一步不要忘掉，详细参考上面分解质因数那题
}
long long cnt = 1;
for (auto x : m) {
cnt = cnt * (x.second + 1) % M;
}
cout << cnt;
return 0;
}
约数之和
如果 N = p1^c1 * p2^c2 * … *pk^ck
约数之和： (p1^0 + p1^1 + … + p1^c1) * … * (pk^0 + pk^1 + … + pk^ck)
这个公式把它展开就明白了
主要对代码里面一些细节进行说明
while (k--) temp = (temp * p + 1) % M;
这一步我们要实现的就是p^0 + p^1 + … + p^c
当temp等于1时，temp=tempp+1=p+1,接着temp=tempp+1=p^ 2+p+1(这是第二步循环，一直到第k部循环temp=p^0 + p^1 + … + p^c
题目链接–约数求和
#include<iostream>
#include<map>
using namespace std;
const int M = 1e9 + 7;
typedef long long ll;
int main()
{
ll n, a;
cin >> n;
map<ll, ll>prime;
while (n--) {
cin >> a;
for (int i = 2; i <= a / i; i++) {
while (a % i == 0) prime[i]++, a /= i;
}
if (a > 1) prime[a]++;
}
ll sum = 1;
for (auto x : prime) {
ll k = x.second, p = x.first;
ll temp = 1;
while (k--) temp = (temp * p + 1) % M;
sum = (sum * temp) % M;
}
cout << sum;
return 0;
}
呜呜本来想把基础数论这边合一块，试了一下好长…根本不想看，还是分开吧
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