hloj#168“倒牛奶”解题讨论

题目描述

农民约翰有三个容量分别是A,B,C升的桶，A,B,C分别是三个从1到20的整数。 最初，A和B桶都是空的，而C桶是装满牛奶的。有时，约翰把牛奶从一个桶倒到另一个桶中，直到被灌桶装满或原桶空了。当然每一次灌注都是完全的。由于节约，牛奶不会有丢失。 写一个程序去帮助约翰找出当A桶是空的时候，C桶中牛奶所剩量的所有可能性。

输入格式

单独的一行包括三个整数A,B和C。

输出格式

只有一行，升序地列出当A桶是空的时候，C桶牛奶所剩量的所有可能性。

样例数据

input

样例输入 1

8 9 10

样例输入 2

2 2 5 10

output

样例输出 1

1 1 2 8 9 10 

样例输出 2 

2 5 6 7 8 9 10

数据规模与约定

时间限制：1s

空间限制：256MB

 这是一道较为水坑的题(水是重点！)。

首先分析一下题目，题目的意思是这样的：最初，A和B桶都是空的，而C桶是装满牛奶的。要找出当A桶是空的时候，C桶中牛奶所剩量的所有可能性。
咋眼一看，感觉有点懵，这什么鬼啊！
再看一下题目所给的数据：1=<A,B,C<=10，由于数据量给的小，稍微想了一下，用递归暴力搜索是可行的。。。。
递归，是一个非常暴力的方法，由结论推出条件，很直观，但是需要耗费挺多的脑细胞来找递归边界。
这道题的难点就在于它的递归边界有点不好找，这也正是这道题坑的原因。

======================我是分割线======================
读完了以上废话，下面引入正题：
看一下这道题的样例：
输入样例：
SAMPLE INPUT 1
8 9 10
SAMPLE INPUT 2
2 5 10
输出样例：
SAMPLE OUTPUT 1
1 2 8 9 10
SAMPLE OUTPUT 2
5 6 7 8 9 10

样例还是给的比较良心的，让我们知道得出结果的同时还要sort排序一下（差点掉坑）。
接下来高能来袭：
仔细思考一下，如果我们要用递归来写这道题，是不是应该把所有情况列举出来，对吧！
好的，那么我们想一下：
假设A中有牛奶，那么为了枚举所有的情况，它只有两种选择
1.把牛奶倒入B 2.把牛奶倒入C。
那么问题来了，有可能牛奶倒入B倒满了，A中还有剩余。或者牛奶倒入B没有倒满，A中牛奶空了。
这两种状态是不一样的！！！！（同理A倒C）
分析一下这两种状态，可以写出A倒B的递归转移式：

if(A<=b-B) milk(0,A+B,C);

//milk表示递归函数；A,B,C表示三个桶中的牛奶剩余量，a,b,c表示三个桶的容积。 B桶还未满。

else milk(A-(b-B),b,C);

//A桶中的牛奶剩余量为（A-(b-B)）,b-B为B桶中剩余的容积。此时B桶已经满了。
同理可得A倒C，A倒B，B倒C，B倒A（与A倒B为两种不同的情况，容易混淆），C倒A（与A倒C不同），C倒B（与B倒C不同）。。

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递归要配合记忆化搜索，记住，递归要配合记忆化搜索。

注意要判断当前状态是否存在过。用f[A][B][C]来表示三个桶的状态

下面贴一下代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int sum[50];//sum[i]表示可能的种数 
int a,b,c,p=-1;  //a,b,c表示三个桶的容积              
bool f[50][50][50];       
void milk(int A, int B, int C)//A,B,C表示三个桶中的牛奶量 
{
    if(f[A][B][C]) return; //记忆化搜索 
    f[A][B][C]=true;//布尔型数组记忆化
    if(A==0) {      
          sum[++p]=C;//情况符合，记录
    } 
    if(A<=b-B)  milk(0,A+B,C);//如果a桶中的牛奶少于b桶剩余的容积，则倒入。 
        else  milk(A-(b-B),b,C);  //否则a桶剩余继续倒，把b桶倒满。   
    if(A<=c-C)  milk(0,B,C+A);// 同理枚举a倒c。 
        else  milk(A-(c-C),B,c);    
    if(B<=a-A)  milk(A+B,0,C);
        else  milk(a,B-(a-A),C);
    if(B<=c-C)  milk(A,0,C+B);
        else  milk(A,B-(a-A),c);
    if(C<=a-A)  milk(A+C,B, 0);
        else  milk(a,B,C-(a-A));
    if(C<=b-B)  milk(A,B+C, 0);
        else  milk(A,b,C-(b-B)); //依次枚举a,b,c桶分别有牛奶的情况，以及分别倒入另外两桶的情况全部枚举。 
    return;
}
 int main()
{
    memset(sum,0,sizeof(sum));
    memset(f,0,sizeof(f));
    cin>>a>>b>>c;
    milk(0,0,c);//表示初始状态递归 
    sort(sum,sum+p+1);//从把结果小到大排序
    for(int i=0;i<p;i++){
        cout<<sum[i]<<" ";
    }
    cout<<sum[p]; 
    return 0;
}

这道题就这样完美解决了，花了我好长时间，呜呜呜呜呜呜！

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总结一下，递归的题要找到递归边界，这道题很特殊，有三个并列的递归边界！！
找出这道题的突破口（即三个桶分别的状态），分别讨论，就可以了（有点小麻烦！）。