多重背包-二进制拆分优化

Smiling & Weeping

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　----难道只有在失眠的晚上，才会想起月亮那片药吗

　　题目详见：

P1776 宝物筛选 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

总复杂度从O(C * (物品个数之和))降到O（C * (log2(mi)的和)）

　　注意拆分的具体实现，不能全部拆成2的倍数，而是先按2的倍数从小到大拆，最后是一个小于或等于最大倍数。对于mi这样拆分非常有必要，能够保证拆出的数相加在[1 , mi]的范围内，不会大于mi。例如：mi = 25，把它拆成1+2+4+8+10,最后的余数10,10 < 16,读者可以验证用这五个数能够组成1~25的所有数字，不会超过25。

　　详见代码：

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct data
{
    int value , volume , m;
}items[100100];
int dp[100100];
int new_value[100100] , new_volume[100100] , new_m[100100];　　//二进制拆分后新物品总数量
int main()
{
    int n , w;
    scanf("%d%d",&n,&w);
    for(int i = 1; i <= n; i++)     
        scanf("%d%d%d",&items[i].value,&items[i].volume,&items[i].m);
    int n_new = 0;　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  //二进制拆分后的新物品
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= items[i].m; j <<= 1)　　　　　　　　　//二进制枚举：1,2,4...
        {
            items[i].m -= j;　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　//减去已拆分的
            new_value[++n_new] = j * items[i].value;
            new_volume[n_new]  = j * items[i].volume;
        }
        if(items[i].m)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  //最后一个余数
        {
            new_value[++n_new] = items[i].m * items[i].value;
            new_volume[n_new]  = items[i].m * items[i].volume;
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n_new; i++)　　　　　　　　　　　　　　　　　　//枚举物品
        for(int j = w; j >= new_volume[i]; j--)　　　　　　　　　　 //枚举背包容量
            dp[j] = max(dp[j] , dp[j - new_volume[i]] + new_value[i]);
    cout << dp[w] << endl;
    return 0;
}