最近公共祖先LCA （3/31 与 4/2 补档例题）
板子
确定 a , b 两点后不断向上找，直到a==b
但是暴力查找总会TLE
于是有了倍增的使用
基本原理：任何数都可以表示成二进制
在这里的运用就是：
把到LCA的距离截成多端2的倍数距离，每次向上提2^k距离
为此要先知道每个点的深度，然后求每个点向上2^k的点是哪个点
void dfsn(int now,int deep){
d[now]=deep;
//求向上2^k的点是哪个点
//i=0就是父节点，这个要在下面传递到下一个节点（上一个节点的下一个节点就是当前节点）时进行
for(int i=1；i<=log2(n);i++)
{
if(deep<=(1<<i)) break;
f[now][i]=f[f[now][i-1]][i-1];
}
//递归
for(int i=head[now];i;i=edge[i].nxt)
{
int to=edge[i].to;
if(vis[to]) continue;
vis[to]=1;
f[to][0]=now;//记录下个节点的父节点
dfsn(to);
}
}
然后就是LCA了
int LCA(int a,int b)
{
//找出深度更大的那个，然后将其提到同高度
if(d[a]<d[b]) swap(a,b);
int cha=d[a]-d[b];
for(int i=0;i<=log2(n);i++)
{ //位运算减少代码量
//因为（1<<i）只有最高位为1，所以只要(1<<i)&cha，就说明a要往上走（1<<i）位
if((1<<i)&cha) a=f[a][i];
}
//同高后a==b，则原来b就是两点的LCA
if(a==b) return a;
//将a，b提到LCA的下一个节点
for（int i=log2(n);i>=0;i++)
{
if(d[f[a][i]]<0) return;
if(f[a][i]==f[b][i]) continue;
else a=f[a][i],b=f[b][i];
}
return f[a][0];
}
完全套LCA的板子，只是多了个染色，看最大染色边的染色次数是否等于总染色次数
（但是蒻蒟看着题解抄了一晚上饭也没吃才勉强看懂）
染色思路：
将两个点命名为 A ，B ，其 LCA 为 LCA
我们要把 A 到 LCA 和 B 到 LCA 的所有线段染色
并且其他部分的边不动
可以使用（我怎么知道可以这样搞啊啊啊啊啊啊）DFS，每次 DFS 将 当前边 染色，如果当前边 染色次数 等于 m ，就取当前答案与它的最大值
蒻蒟喜欢用链式向前星，存的是无向图，所以边的 id 正好是按数据输入的顺序
我们把 A B 染色为 1 表示这两个点往上的边被染色了，把 LCA 染色为 -2；
这样，当 DFS 回溯到 LCA 之后，就不会再带上 A - B 这一段了
在每次 DFS 完子节点之后 ，
1.把 当前节点的染色加上 子节点的染色，因为我们一开始只对端点进行了染色，需要不断更新当前点的往上的那一条边的染色状态
2.把当前边 （i+1）/2 的染色次数加上 子节点的染色，因为子节点的染色次数记录的是子节点往上那一条边（即当前边）的染色状态
3.如果当前边的染色状态 == m ， 就 ans = max ( ans , colid[id] )
注意，ans要初始化为-1；
点击查看代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int LL;
const int N=1e5+10;
LL n,m,cnt,head[N],deep[N],f[N][20],vis[N],col[N],colid[N],ans;
struct Edge{
LL to,nxt;
}edge[N<<1];
void add(LL fa,LL to)
{
edge[++cnt].nxt=head[fa];
edge[cnt].to=to;
head[fa]=cnt;
}
void dfsn(int now,int dp)
{
deep[now]=dp;
for(int i=1;(1<<i)<dp;i++)
{
f[now][i]=f[f[now][i-1]][i-1];
}
for(int i=head[now];i;i=edge[i].nxt)
{
int to=edge[i].to;
if(vis[to]) continue;
vis[to]=1;
f[to][0]=now;
dfsn(to,dp+1);
}
}
int LCA(int a,int b)
{
if(deep[a]<deep[b]) swap(a,b);
int cha=deep[a]-deep[b];
for(int i=0;(1<<i)<=n;i++)
{
if((1<<i)&cha) a=f[a][i];
}
if(a==b) return a;
for(int i=log2(n);i>=0;i--)
{
if(f[a][i]==f[b][i]) continue;
a=f[a][i],b=f[b][i];
}
return f[a][0];
}
void dfs(int now)
{
for(int i=head[now];i;i=edge[i].nxt)
{
LL to=edge[i].to,id=(i+1)/2;
if(vis[to]) continue;
vis[to]=1;
dfs(to);
colid[id]+=col[to];
col[now]+=col[to];
if(colid[id]==m)
{
ans=max(ans,id);
}
}
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0),cout.tie(0);
cnt=0;
cin>>n>>m;
for(LL i=1;i<n;i++)
{
LL fa,to;
cin>>fa>>to;
add(fa,to);
add(to,fa);
}
vis[1]=1;
dfsn(1,1);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int a,b;
cin>>a>>b;
col[a]++;
col[b]++;
col[LCA(a,b)]-=2;
}
memset(vis,0,sizeof(vis));
vis[1]=1;
dfs(1);
cout<<ans;
return 0;
}
学了LCA 就挺简单的（蒻蒟不还是花了一天吗）
1.现根据景点顺序累加相邻的两个景点间的距离到 ans ( dis[ a[ i ] ] + dis [ a [ i + 1 ] ] - 2 × dis [ LCA ( a[ i ] , a [ i + 1 ] ) ] ) 记得公共部分要 ×2 再减掉！！
2.遍历第 2 ~ k-1 个景点，每次在 ans 中减去 a[ i - 1 ] 到 a[ i ] ，a[ i ] 到 a[ i + 1 ] 的距离，再加上a[ i - 1 ] 到 a[ i + 1 ] 的距离 ,得到的就是跳过该点的总路程
3.对于第一个和最后一个景点，分别用 ans 减去 第一对 和最后一对 景点间的距离即可
点击查看代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int LL;
const int N=1e5+10,MOD=1e9+7;
LL n,k,head[N],cnt,deep[N],dis[N],a[N],f[N][20],res[N],ans;
struct Edge
{
LL to,nxt,w;
}edge[N<<1];
void add(LL fa,LL to,LL w)
{
edge[++cnt].nxt=head[fa];
edge[cnt].to=to;
edge[cnt].w=w;
head[fa]=cnt;
}
void dfsn(LL now,LL fa,LL dp)
{
deep[now]=dp;
for(int i=1;(1<<i)<dp;i++)
{
f[now][i]=f[f[now][i-1]][i-1];
}
for(int i=head[now];i;i=edge[i].nxt)
{
LL to=edge[i].to,w=edge[i].w;
if(to==fa) continue;
dis[to]=dis[now]+w;
f[to][0]=now;
dfsn(to,now,dp+1);
}
}
LL LCA(LL a,LL b)
{
if(deep[a]<deep[b]) swap(a,b);
LL cha=deep[a]-deep[b];
for(int i=0;(1<<i)<n;i++)
{
if((1<<i)&cha) a=f[a][i];
}
if(a==b) return a;
for(int i=log2(n);i>=0;i--)
{
if(f[a][i]==f[b][i]) continue;
a=f[a][i],b=f[b][i];
}
return f[a][0];
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0),cout.tie(0);
cin>>n>>k;
for(int i=1;i<n;i++)
{
LL fa,to,w;
cin>>fa>>to>>w;
add(fa,to,w);
add(to,fa,w);
}
dfsn(1,0,1);
for(int i=1;i<=k;i++) cin>>a[i];
for(int i=1;i<=k-1;i++)
{
res[i]=dis[a[i]]+dis[a[i+1]]-2*dis[LCA(a[i],a[i+1])];
ans+=res[i];
}
cout<<ans-res[1]<<" ";
for(int i=2;i<=k-1;i++)
{
LL lca=LCA(a[i-1],a[i+1]);
cout<<ans-res[i]-res[i-1]+dis[a[i-1]]+dis[a[i+1]]-2*dis[lca]<<" ";
}
cout<<ans-res[k-1];
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号