[学习笔记]AC自动机
Aho-Corasick automaton
本文基本上是oiwiki的复制粘贴:https://oi-wiki.org/string/ac-automaton/
可能加上了自己感性理解
概述
AC 自动机是 以 TRIE 的结构为基础 ，结合 KMP 的思想 建立的
建立AC自动机有两个步骤：
- TRIE:将所有的模式串构成一颗字典树
- KMP:对TRIE上所有的状态构造失配指针
可以说，AC自动机是由字典树和失配指针构成的
回顾KMP
- KMP匹配算法可以在线性时间内判定字符串\(A[1-N]\)是字符串\(B[1-M]\)的子串，并求出字符串A在字符串B中各次出现的位置．有两个数组:\(next,f\)
- \(next[i]\)表示的是
A中以i为结尾的非前缀子串与A的前缀能够匹配的最长长度 - \(f[i]\)表示的是
B中以i为结尾的子串与A的前缀能够匹配的最长长度
一直说AC自动机就是树上的KMP，那这两者有什么关系呢?
字典树insert()
字典树上的每个节点代表有限自动机一个状态，表示的是某个模式串的前缀。
编译原理学得超级差．．(
模式串的结尾状态被称为可接受状态
字典树的插入：
void insert(char *s){
int u=0;
for(int i=1;s[i];++i){
if(!tr[u][s[i]-'a']) tr[u][s[i]-'a']=++tot;
u=tr[u][s[i]-'a'];
}
e[u]++;
}
失配指针fail[]
AC自动机需要利用一个fail指针来辅助多模式串的匹配
状态\(u\)的fail指针指向另一个状态\(v\)，\(v\)是\(u\)的最长后缀。这里的fail指针跟KMP的next指针一样是在失配的时候使用，fail指针指向的是所有模式串的前缀中匹配当前状态的最长后缀。AC 自动机在做匹配时，同一位上可匹配多个模式串。因为有多个模式串，所以会指向多个模式串中的一个．KMP算法只有一个模式串，不会指向另一个模式串．
如果模式串只有一个，是不是相当于KMP算法?
考虑字典树中当前结点\(u\)，\(u\)的父节点是\(p\)，\(p\)通过字符c的边指向\(u\)，标记为\(tr[p,c]=u\)
假设深度小于\(u\)的所有结点的fail指针构造完毕
- 若\(tr[fail[p],c]\)存在：则让\(u\)的fail指针指向\(tr[fail[p],c]\)。即在\(p\)和\(fail[p]\)后面加一个字符c，对应\(u\)和\(fail[u]\)
- 若\(tr[fail[p],c]\)不存在: 则继续找到\(tr[fail[fail[p],c]]]\)。重复1的判断过程
- 如果真的没有，就让fail指针指向根结点
构建函数build()
build()的目标有两个：一个是构建fail指针，一个是构建自动机
- \(tr[u,c]\)表示从当前状态\(u\)后面加一个字符c能到达的状态，即一个状态转移函数
- q队列，用于BFS遍历字符串
- \(fail[u]\)结点\(u\)的fail指针
queue<int> q;
void build() {
for (int i = 0; i < 26; ++i){
if (tr[0][i]) {
q.push(tr[0][i]);
}
}
while (!q.empty()) {/*每次从队列中取出的u，表示fail[u]已经求出*/
int u = q.front();
q.pop();
for (int i = 0; i < 26; ++i) {
if (tr[u][i]) {/*这里表示的就是1过程，一行代码搞定*/
fail[tr[u][i]] = tr[fail[u]][i];
q.push(tr[u][i]);
} else {
tr[u][i] = tr[fail[u]][i];/*这行代码会改变树的结构，因为改变了tr数组，好处是节省时间，不需要跳那么多次fail，可以理解为路径压缩，直接到下一个能匹配的位置*/
}
}
}
}
fail指针的作用可以理解为舍弃前缀，指向下一个匹配的位置．
现在可能有个问题是对于kmp而言，那个板子求next是需要一个while循环，但是ac自动机的这个板子求fail只需要一行代码．
我查过存在递归查找的板子，本文板子我的感性理解应该是因为空间换时间，将trie树变成图 ,采用了递推的方法．
多模式匹配query()
既然建好了图，也就是ac自动机，直接把字符串t输入到自动机去．
利用fail指针找出匹配的模式串．
在匹配字符串的过程中，我们会舍弃部分前缀达到最低限度的匹配．
int query(char *t) {
int u = 0, res = 0;
for (int i = 1; t[i]; i++) {
u = tr[u][t[i] - 'a']; // 转移
for (int j = u; j && e[j] != -1; j = fail[j]) {
res += e[j], e[j] = -1;
}
}
return res;
}
模板
namespace AC {
int tr[N][26], tot;
int e[N], fail[N];
void insert(char *s) {
int u = 0;
for (int i = 1; s[i]; ++i) {
if (!tr[u][s[i] - 'a']) tr[u][s[i] - 'a'] = ++tot;
u = tr[u][s[i] - 'a'];
}
e[u]++;
}
queue<int> q;
void build() {
for (int i = 0; i < 26; ++i) {
if (tr[0][i]) {
q.push(tr[0][i]);
}
}
while (!q.empty()) {
int u = q.front();
q.pop();
for (int i = 0; i < 26; ++i) {
if (tr[u][i]) {
fail[tr[u][i]] = tr[fail[u]][i];
q.push(tr[u][i]);
} else {
tr[u][i] = tr[fail[u]][i];
}
}
}
}
int query(char *t) {
int u = 0, res = 0;
for (int i = 1; t[i]; i++) {
u = tr[u][t[i] - 'a'];
for (int j = u; j && e[j] != -1; j = fail[j]) {
res += e[j], e[j] = -1;
}
}
return res;
}
}
