分块思想

分块常用来解决一些区间问题，例如区间加法，区间求和，区间最小值等等

其主要思想是将长度为 $n$ 的数据分为若干块，处理每一块上的信息，在查询的时候完成快速的查询。

我们采用分块的思想，我们将方格分为 $B$ 组，每组即为 nBBn​ 个元素，如下所示：

如上，每组元素我们划分五个，我们将 $n$ 个元素分为了 B=⌈n5⌉ 组，同时可能不满足每组都有五个元素，最后一组空缺一些元素，但是无关紧要。

在分完组后，我们维护每组的一个和值，我们用 sum[i] 表示第 i 组的和值，对于每个元素，如果他被修改了，那么我们找到对应的组 x，对 sum[x] 进行相应的操作即可。

如下图：

更新十分的简单。

那么如何进行查询呢，比如我要查询某个区间 [a,b]的和。

那么就分为两种情况：

1. 询问的左右端点在同一个组，即如下情况：

那么我们可以直接进行区间内循环，即暴力循环。

2. 询问的左右端点不在同一个组，即如下：

那么对应查询区间内完整的组，我们直接查询其 sum 即可，对于不完整的组，我们暴力循环区间，例如在上图中，在第一组的区间内，我们暴力循环 $[3,5]$ 即可。

我们分析一下复杂度：

1. 我们分的组数量为 B。
2. 那么每次查找最多包含的组数为 $B$，也就是说，对于完整的组，可能最多循环 $B$ 次。
3. 对于不完整的组，每次查询暴力循环可能需要 ⌈Bn​⌉ 次。

那么对于一次查询的复杂度为O(B+⌈Bn​⌉)，为了使得复杂度最小，我们用不等式可以算出 B=n​ 是最合适的。

static int[] bL = new int[N];
    static int[] bR = new int[N];
    static int[] gid = new int[N];
    static int[] a = new int[N];
    static int[] sum = new int[N];
    static int gnum, Bnum;

    public static void initBlock(int n) {
        gnum = 0;
        Bnum = (int) Math.sqrt(n) + 1;//获得块数
        for (int i = 1; i <= n; i += Bnum) {
            //通过遍历，确定每一个块的起始位置
           //为什么要加一：int取整仅仅取整，不会四舍五入，加一防止溢出
            gnum++;
            bL[gnum] = i;
            bR[gnum] = Math.min(n, i + Bnum - 1);
            //对于块内的每一个序号，确定所在的块号，以及加和
            for (int j = bL[gnum]; j <= bR[gnum]; j++) {
                gid[j] = gnum;
                sum[gnum] += a[j];
            }
        }
    }