01背包（砝码称重）

import java.util.Scanner;
//dp的本质就是状态转移
public class Main {

    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        int count = 0;// 统计能配出的个数
        int[] w = new int[101];
        boolean[][] dp = new boolean[101][100001];//含义是，砝码数量为i时，能否称出重量j
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        long sum = 0L;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            w[i] = sc.nextInt();// 每个砝码的重量
            sum += w[i];// 砝码最大重量
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) {// 有多少个砝码
            for (int j = 1; j <= sum; j++) {// 砝码最大重量
                if (j == w[i]) {// 能称出砝码的质量就直接赋值为1说明可以称
                    dp[i][j] = true;
                } else {
                    // 分为三种情况1.dp[i-1][j]如果上一次的砝码是1说明可以称出这个重量，我们直接复制下来就行了
                    // 2.dp[i-1][abs(j-w[i])]表示上一次称砝码放天平左边能不能配出这个重量
                    // 3.dp[i-1][j+w[i]]表示上一次称砝码放天平右边能不能配出这个重量
                    // 以上三种情况满足一种就说明此重量可以配出
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i - 1][Math.abs(j - w[i])] || dp[i - 1][j + w[i]];
                }
            }
        }
        for (int i = 1; i <= sum; i++) {
            // System.out.print(dp[n][i] + " ");
            if (dp[n][i]) {
                count++;
            }

        }
        System.out.println(count);
    sc.close();
    }

}

这一步的关键是理解如何通过动态规划（DP）来解决砝码问题，尤其是在考虑每个砝码时如何进行状态转移。你需要从多个角度来思考问题：

1. 状态转移的理解：

• dp[i][j]表示通过前 i 个砝码是否能够称出质量为 j 的物体。
• 我们的目标是通过状态转移找到是否可以称出某个质量，考虑到砝码可能放在天平的两侧（即放在左边或右边）。

2. 分析三种情况：

• dp[i-1][j]：表示在没有当前砝码的情况下，前 i-1 个砝码能否称出质量为 j。如果前 i-1 个砝码可以称出质量 j，那么不使用当前砝码 w[i]，依然可以称出 j。
• dp[i-1][Math.abs(j - w[i])]：这表示在前 i-1 个砝码能称出质量为 Math.abs(j - w[i]) 时，当前砝码 w[i] 可以放在另一边（天平的一侧），使得总质量为 j。这种情况说明当前砝码是用于调整质量，放在天平的另一侧。
• dp[i-1][j + w[i]]：这表示如果前 i-1 个砝码能称出质量为 j + w[i]，那么当前砝码 w[i] 就可以放在天平的另一侧，使得总质量变为 j。

3. 思维方式：

• 从前一个状态推导当前状态：你通过考虑前一个状态的不同情况来推导当前的可能性。每次考虑当前砝码时，都会更新当前的 dp[i][j]，它由之前的 dp[i-1] 状态转移而来。
• “背包问题”变种：动态规划中的经典背包问题涉及到选择某些物品以达到目标重量。在这个问题中，你需要选择如何分配砝码，使得天平能够达到特定质量，而每个砝码有三种状态（左边、右边、不使用）。

4. 总结：

这步需要你具备：

• 多角度分析问题：不仅要考虑砝码的重量本身，还要考虑砝码的放置方式（两侧）。
• 递推思想：通过已知的状态（前 i-1 个砝码的状态），推导出当前状态（前 i 个砝码的状态）。
• 状态转移的直觉：基于前一个状态的可能性，推测出当前状态的可能性。

 

另外的解法：

//在这个解法中，set其实就是一个去重了的dp数组
//存储的是当前情况下可以测量的重量，而且不重复
import java.util.*;
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        Set<Integer> set = new HashSet<>();
        int n = scan.nextInt();
        int[] fama = new int[n];

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            fama[i] = scan.nextInt();
        }
        //初始化set集合，放入0
        set.add(0);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            //将set集合转化为list集合
            List<Integer> list = new ArrayList<>(set);
            //因为它有下面保存可称重量的过程，所以每一次重新的遍历
            //都是在那些可以称量的重量的基础上进行操作的（体现状态转移的部分，非常巧妙）
            for (int k : list) {
                //将新的砝码与set集合的元素进行加减操作，得出新的砝码秤重
                set.add(k + fama[i]);
                set.add(Math.abs(k - fama[i]));
            }
        }
        //移除0元素
        set.remove((Object)0);
       //输出set集合大小，也就是秤重方案数
        System.out.println(set.size());
        scan.close();
    }
}