背包问题：恰好装满

恰好装满背包（Exact-Full Knapsack）是 0/1 背包的一种变形，要求在重量（或体积）恰好等于给定容量 \(W\) 的前提下，优化（或计数、判可行）目标。常见三种场景：

1. 判可行——问是否存在一种选法使总重恰好 W。

2. 计方案数——求有多少种选法能恰好装满。

3. 求最大价值——在恰好装满 \(W\) 的前提下，使价值之和最大。

1D 动态规划思路

设有 n 件物品，第 i 件重量 \(w_i\)，价值 \(v_i\)（计数/可行时 \(v_i\) 可忽略）：

• 定义状态 \(dp[j]\)：含义因场景而异。

• 初始化：

  • 判可行： dp[0]=true, 其余 dp[j]=false。

  • 计方案数： dp[0]=1, 其余 dp[j]=0。

  • 最大价值： dp[0]=0, 其余 dp[j]= -∞（用很小的负数或 -1e18 表示不可达）。

• 转移（遍历每件物品，逆序枚举容量）：

  for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=W;j>=w[i];j--){
      // 可行性：
      dp[j] = dp[j] | dp[j - w[i]];
      // 方案数（若答案可能很大，要取模）：
      dp[j] = dp[j] + dp[j - w[i]];
      // 最大价值：
      if(dp[j - w[i]] != -INF)
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
    }
  }
  

• 最终答案都在 dp[W] ：

  • 可行则 dp[W]==true；

  • 方案数即 dp[W]；

  • 最大价值若仍 <0（或 -INF）则表示无解，否则即 dp[W]。

时间复杂度都是 \(O(nW)\)，空间 \(O(W)\)。

核心 C++ 模板

下面给出“恰好装满求最大价值”版本。其他两种只需改初始值和转移中的操作即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const ll NEG_INF = LLONG_MIN / 4;

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n, W;
    cin >> n >> W;
    vector<int> w(n+1);
    vector<ll> v(n+1);
    for(int i=1; i<=n; i++){
        cin >> w[i] >> v[i];
    }

    // dp[j] = max value to get exactly weight j
    vector<ll> dp(W+1, NEG_INF);
    dp[0] = 0;

    for(int i=1; i<=n; i++){
        for(int j=W; j>=w[i]; j--){
            if(dp[j - w[i]] != NEG_INF){
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
            }
        }
    }

    if(dp[W] < 0){
        cout << "Impossible\n";
    } else {
        cout << dp[W] << "\n";
    }
    return 0;
}

• 如果只需 判可行，令 vector<char> dp(W+1); dp[0]=1;，转移中用 dp[j] |= dp[j-w[i]];，最后检查 dp[W]。

• 如果要 计方案数，令 vector<int> dp(W+1); dp[0]=1;，转移中用 dp[j] = (dp[j] + dp[j-w[i]]) % MOD;。

常见优化

• 位运算加速判可行：用 C++ bitset，一次转移为 bs |= (bs << w[i]);，速度快且写法简洁。

• 剪枝：当 \(W\) 很大时，可尝试分组计数、分块折半等高级技巧，但最常用的还是上述 \(O(nW)\) 方案。