分组背包

本篇对应源码见仓库 solutions/xcpc/algorithm/dp/knapsack-group/。

问题描述

分组背包问题是一种每组只能选一个物品的背包问题。它是01背包和完全背包的延伸。

• 给定 \(N\) 种物品，每组有若干个物品
• 每组最多选 1 个物品（可以不选）
• 每个物品有对应的重量和价值
• 背包容量为 \(V\) ，需要最大化总价值

比如有 \(N\) 组物品，第i组有k_i个物品。每个物品有体积group[i].first和价值group[i].second。

目标：选若干物品，每组至多选一个，总体积 \(≤V\) ，总价值最大。

状态定义

• \(dp[j]\) 表示容量为 \(j\) 的背包能装下的最大价值。

遍历方式

• 先遍历组数
• 再逆序遍历背包容量，这就满足了每组物品最多选一个，类似于01背包
• 最后遍历每组的每个物品

注意

• 一定是按照上面所说的遍历方式和遍历顺序，不可以将后面两个遍历调换，否则会导致在一组中选择了多个物品！

状态转移方程

• if(j >= group[i].first) dp[j] = max(dp[j], dp[j - group[i].first] + group[i].second)

模板

• v: 物品体积
• w: 物品价值

struct Item { int v, w; };
int main() {
    int m, V;
    cin >> m >> V;
    vector<vector<Item>> group(m);
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int k; cin >> k;
        for (int j = 0; j < k; j++) {
            int v, w; cin >> v >> w;
            group[i].push_back({v, w});
        }
    }
    vector<int> f(V + 1, 0);
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = V; j >= 0; j--) {
            for (auto &item : group[i]) {
                if (j >= item.v)
                    f[j] = max(f[j], f[j - item.v] + item.w);
            }
        }
    }
    cout << f[V] << endl;
}

变式

• 每组必须选一个：初始化dp[j] = -inf，dp[0] = 0，这样必须每组都参与转移。
• 限定了总件数：给 \(dp\) 数组加维数，\(dp[j][k]\) 表示容量为 \(j\)，选了 \(k\) 件物品的最大价值。
• 每组限定选的件数（比如，一些组限定只能且必须选 \(x_i\) 件，又或是一些组限定不能超过选 \(x_i\) 件）：解决方法和上一种情况类似，给 \(dp\) 数组加维数