最长上升子序列（动态规划）

最长上升子序列（动态规划）

给定一个长度为 NN 的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。

输入格式

第一行包含整数 NN。

第二行包含 NN 个整数，表示完整序列。

输出格式

输出一个整数，表示最大长度。

数据范围

1≤N≤1000，
\(−10^9\)≤数列中的数≤\(10^9\)

输入样例：

7
3 1 2 1 8 5 6

输出样例：

4

思想

• 状态表示：f[i]表示从第一个数字开始算，以a[i]结尾的最大的上升序列。(以a[i]结尾的所有上升序列中属性为最大值的那一个)

• 状态转换方程 f[i] = max(f[i], f[j] + 1), 其中j∈(0,1,2,..,i-1), 由于a[i]如果小于等于a[j]，不满足题意，所以需判断。

• 有一个边界，若前面没有比i小的，f[i]为1（自己为结尾）。

• 最后f[i]，表示每个到w[i]截止的最长子序列长度。

• 比较f[i]取最大值。

c++代码

#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
	int n;
	int a[1000],f[1000];
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	int m=1;
	for(int i=0;i<n;i++){
		f[i]=1;
		for(int j=0;j<i;j++){
			if(a[j]<a[i]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);//动态规划法 状态转移方程 f [ i ] = max (f [ i ], f[ j ] + 1);
		}
		m=max(m,f[i]);
	}
	cout<<m;	
	return 0;
} 

时间复杂度为 O（\(n^2\)）