凸包

二维凸包

定义

凸多边形

凸多边形是指所有内角大小都在 范围内的 简单多边形。

凸包

在平面上能包含所有给定点的最小凸多边形叫做凸包。

其定义为：对于给定集合X ，所有包含 X 的凸集的交集 S 被称为 X 的 凸包。

实际上可以理解为用一个橡皮筋包含住所有给定点的形态。

凸包用最小的周长围住了给定的所有点。如果一个凹多边形围住了所有的点，它的周长一定不是最小，如下图。根据三角不等式，凸多边形在周长上一定是最优的。

Andrew 算法求凸包

常用的求法有 Graham 扫描法和 Andrew 算法，这里主要介绍 Andrew 算法。

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
signed main()
{
    long long n,l;
    cin>>n>>l;
    vector<pair<long long,long long> >e;
    for(long long i=1;i<=n;i++)
    {
        long long a,b;
        cin>>a>>b;
        e.push_back({a,b});
    }
    sort(e.begin(),e.end());
    long long st1[1010];
    vector<long long>visited(n+1);
    long long top1=0;
    st1[++top1]=0;
    for(long long i=1;i<n;i++)
    {
        while(top1>1)
        {
            pair<long long,long long>a=e[st1[top1]],b=e[st1[top1-1]];
            pair<long long,long long>x={a.first-b.first,a.second-b.second};
            pair<long long,long long>y={e[i].first-a.first,e[i].second-a.second};
            if(x.first*y.second-x.second*y.first<=0)
            {
                visited[st1[top1]]=0;
                top1--;
            }
            else break;
        }
        st1[++top1]=i;
        visited[i]=1;
    }
    long long st2[1010];
    long long top2=0;
    st2[++top2]=st1[top1];
    for(long long i=n-1;i>=0;i--)
    {
        if(!visited[i])
        {
            while(top2>1)
            {
                pair<long long,long long>a=e[st2[top2]],b=e[st2[top2-1]];
                pair<long long,long long>x={a.first-b.first,a.second-b.second};
                pair<long long,long long>y={e[i].first-a.first,e[i].second-a.second};
                if(x.first*y.second-x.second*y.first<=0)
                {
                    visited[st2[top2]]=0;
                    top2--;
                }
                else break;
            }
            st2[++top2]=i;
            visited[i]=1;
        }
    }
    long double sum=0;
    for(long long i=2;i<=top1;i++)
    {
        sum+=sqrt((e[st1[i]].first-e[st1[i-1]].first)*(e[st1[i]].first-e[st1[i-1]].first)+(e[st1[i]].second-e[st1[i-1]].second)*(e[st1[i]].second-e[st1[i-1]].second));
    }
    for(long long i=2;i<=top2;i++)
    {
        sum+=sqrt((e[st2[i]].first-e[st2[i-1]].first)*(e[st2[i]].first-e[st2[i-1]].first)+(e[st2[i]].second-e[st2[i-1]].second)*(e[st2[i]].second-e[st2[i-1]].second));
    }
    sum+=2.0*acos(-1)*l;
    sum+=0.5;
    long long ans=sum;
    cout<<ans;
}