【初赛】主定理 总结

主定理

（ai教的）

在主定理中，f(n) 不仅参与计算，而且是核心判断依据。

它代表分治算法中"非递归部分的时间代价"（即分解问题与合并子问题结果的总时间），主定理的本质就是通过对比 f(n) 与"子问题总求解代价的渐近量级"（即 n^(log_b a)），来确定整个算法的时间复杂度。

三种核心判断条件：

1. 情况1：

   若 f(n) 的增长速度多项式\(\color{red}{小于}\) n^(log_b a)

   • 条件：f(n) = O(n^(log_b a - ε))（其中 ε > 0）
   • 结论：时间复杂度由子问题代价主导，即 $\color{red}{T(n) = Θ(n^{log_b a})} $
   • 说明：此时f(n)的量级足够小，不影响最终复杂度

2. 情况2：

   若 f(n) 与 n^(log_b a) 的增长速度"多项式相当" (人话 ：\(\color{red}{约等于}\))

   • 条件：f(n) = Θ(n^(log_b a) · log^k n)（其中 k ≥ 0） \(k 是 f(n) 里的对数项是 \log n 的几次方\)
   • 结论：时间复杂度由两者共同主导，即 \(\color{red}{T(n) = Θ(n^{log_b a} · log^{k+1} n) }\)
   • 说明：此时 f(n) 的量级与子问题代价相当，需要叠加对数因子

3. 情况3：

   若 f(n) 的增长速度多项式 \(\color{red}{大于}\) n^(log_b a)

   • 条件：f(n) = Ω(n^(log_b a + ε))（其中 ε > 0），且满足正则条件
   • 结论：时间复杂度由 f(n) 主导，即 \(\color{red}{T(n) = Θ(f(n))}\)`
   • 说明：此时 f(n) 的量级足够大，直接决定最终复杂度

实例说明

以归并排序的递归式 T(n) = 2T(n/2) + O(n) 为例：

• 参数解析：a=2，b=2，因此 log_b a = log_2 2 = 1，子问题代价的量级为 n^1 = n
• f(n) = O(n)，与 n^1 量级相当（符合情况2，k=0）
• 最终复杂度：Θ(n log n)，f(n) 的量级直接决定了适用情况2

ps:here 这个不错 后面有题目