【摘录】《程序设计导引及在线实践》之排列

问题描述

大家知道，给出正整数n，则1 到n 这n 个数可以构成n！种排列，把这些排列按照从

小到大的顺序（字典顺序）列出，如n=3 时，列出1 2 3，1 3 2，2 1 3，2 3 1，3 1 2，3 2 1

六个排列。

给出某个排列，求出这个排列的下k 个排列，如果遇到最后一个排列，则下1 排列为第

1 个排列，即排列1 2 3…n。

比如：n = 3，k=2 给出排列2 3 1，则它的下1 个排列为3 1 2，下2 个排列为3 2 1，因

此答案为3 2 1。

输入数据

第一行是一个正整数 m，表示测试数据的个数，下面是m 组测试数据，每组测试数据

第一行是2 个正整数n( 1 <= n < 1024 )和k(1<=k<=64)，第二行有n 个正整数，是1，2 … n

的一个排列。

输出要求

对于每组输入数据，输出一行，n 个数，中间用空格隔开，表示输入排列的下k 个排列。

输入样例

3

3 1

2 3 1

3 1

3 2 1

10 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

输出样例

3 1 2

1 2 3

1 2 3 4 5 6 7 9 8 10

解题思路

这道题目，最直观的想法是求出 1 到n 的所有排列，然后将全部排列排序……且慢，n

最大可以是1024，1024! 个排列，几乎永远也算不出来，算出来也没有地方存放。那么，

有没有公式或规律，能够很快由一个排列推算出下k 个排列呢？实际上寻找规律或公式都是

徒劳的，只能老老实实由给定排列算出下一个排列，再算出下一个排列……一直算到第k

的排列。鉴于k 的值很小，最多只有64，因此这种算法应该是可行的。

如何由给定排列求下一个排列？不妨自己动手做一下。比如：

“2 1 4 7 6 3 5”的下一个排列是什么？容易，显然是“2 1 4 7 6 5 3”，那么，再下一个

排列是什么？有点难了，是“2 1 5 3 4 6 7”。

以从“2 1 4 7 6 5 3”求出下一个排列 “2 1 5 3 4 6 7”作为例子，可以总结出求给定排

列的下一个排列的步骤：

假设给定排列中的n 个数从左到右是a1, a2, a3……an 。

1) 从 an 开始，往左边找，直到找到某个aj，满足aj-1 < aj（对上例, 这个aj 就是 7，

aj-1 就是4）。

2) 在 aj 、aj+1…… an 中找到最小的比aj-1 大的数，将这个数和 aj-1 互换位置（对

上例, 这个数就是5，和4 换完位置后的排列是 “2 1 5 7 6 4 3”）。

3) 将从位置 j 到位置n 的所有数（共n-j+1 个）从小到大重新排序，排好序后，

新的排列就是所要求的排列。（对上例，就是将“7 6 4 3”排序，排好后的新排列就是“2

1 5 3 4 6 7”）。

当然，按照题目要求，如果a1, a2, a3……an 已经是降序，那么它的下一个排序就是an, an-1,

an-2……a1 。

参考程序：

1. #include <stdio.h>

2. #include <stdlib.h>

3. #define MAX_NUM 1024

4. int an[MAX_NUM + 10];

5. //用以排序的比较函数

6. int MyCompare( const void * e1, const void * e2)

7. {

8. return * ((int *) e1) - * ((int *) e2);

9. }

10.

11. main()

12. {

13. int M;

14. int n, k, i, j;

15. scanf("%d", & M);

16. for (int m = 0; m < M; m ++ ) {

17. scanf("%d%d", &n, &k);

18. //排列存放在 an[1] .... an[n]

19. for( i = 1; i <= n; i ++ )

20. scanf("%d", &an[i]);

21. an[0] = 100000; //确保an[0]比排列中所有的数都大

22. for( i = 0; i < k ;i ++ ) { //每次循环都找出下一个排列

23. for( j = n ; j >= 1 && an[j-1] > an[j] ; j -- ) ;

24. if( j >= 1 ) {

25. int nMinLarger = an[j];

26. int nMinIdx = j;

27. //下面找出从an[j]及其后最小的比 an[j-1]大的元素，并记住其下标

28. for( int kk = j; kk <= n; kk ++)

29. if( nMinLarger > an[kk] && an[kk] > an[j-1]) {

30. nMinLarger = an[kk];

31. nMinIdx = kk;

32. }

33. //交换位置

34. an[nMinIdx] = an[j-1];

35. an[j-1] = nMinLarger;

36. qsort( an + j, n - j + 1 , sizeof(int), MyCompare); //排序

37. }

38. else { //an 里的排列已经是降序了，那么下一个排列就是 1 2 3 。。。。 n

39. for( j = 1; j <= n; j ++ )

140

40. an[j] = j;

41. }

42. }

43. for( j = 1; j <= n; j ++ )

44. printf("%d ", an[j]);

45. printf("\n");

46.

47. }

48. }

语句36 是对一个数组的局部进行排序。qsort 函数并不要求第一个参数必须是一个数组

的开始地址，只要是待排序的一片连续空间的开始地址即可。同样，qsort 的第二个参数也

不必一定是整个数组的元素个数，只要是待排序的元素个数即可。

实现技巧

1．把排列存放在an[1] .... an[n]，而在an[0]存放一个比排列中所有的数都大的数，这个

an[0]所起的作用通常称之为“哨兵”。有了“哨兵”，就可以写语句23:

for( j = n ; j >= 1 && an[j-1] > an[j] ; j -- ) ;

而23 不必担心j-1 小于0 导致数组越界。如果没有“哨兵”，而且将排列存放在an[0] ....

an[n-1]中，那么写到相当于语句23 的这个for 循环的时候，就要判断j-1 小于0 的情况，比

较罗嗦，也容易出错。

放置“哨兵”，是在数组或链表中进行各种操作时常用的做法。

2. 学过C++标准模板库的同学会注意到，用标准模板库中的next_permutation 算法直

接就能求给定排列的下一个排列，根本不需动脑筋。

常见问题

这个题目的测试数据比较多，用 scanf 读入没有问题，有的同学学了点C++, 用C++中

的cin 读入数据，就会造成超时。