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本章介绍图的拓扑排序。和以往一样,本文会先对拓扑排序的理论知识进行介绍,然后给出C语言的实现。后续再分别给出C++和Java版本的实现。

目录
1. 拓扑排序介绍
2. 拓扑排序的算法图解
3. 拓扑排序的代码说明
4. 拓扑排序的完整源码和测试程序

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更多内容:数据结构与算法系列 目录

拓扑排序介绍

拓扑排序(Topological Order)是指,将一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)进行排序进而得到一个有序的线性序列。

这样说,可能理解起来比较抽象。下面通过简单的例子进行说明!
例如,一个项目包括A、B、C、D四个子部分来完成,并且A依赖于B和D,C依赖于D。现在要制定一个计划,写出A、B、C、D的执行顺序。这时,就可以利用到拓扑排序,它就是用来确定事物发生的顺序的。

在拓扑排序中,如果存在一条从顶点A到顶点B的路径,那么在排序结果中B出现在A的后面。

拓扑排序的算法图解

拓扑排序算法的基本步骤:

1. 构造一个队列Q(queue) 和 拓扑排序的结果队列T(topological);
2. 把所有没有依赖顶点的节点放入Q;
3. 当Q还有顶点的时候,执行下面步骤:
3.1 从Q中取出一个顶点n(将n从Q中删掉),并放入T(将n加入到结果集中);
3.2 对n每一个邻接点m(n是起点,m是终点);
3.2.1 去掉边<n,m>;
3.2.2 如果m没有依赖顶点,则把m放入Q;
注:顶点A没有依赖顶点,是指不存在以A为终点的边。

以上图为例,来对拓扑排序进行演示。

第1步:将B和C加入到排序结果中。
    顶点B和顶点C都是没有依赖顶点,因此将C和C加入到结果集T中。假设ABCDEFG按顺序存储,因此先访问B,再访问C。访问B之后,去掉边<B,A>和<B,D>,并将A和D加入到队列Q中。同样的,去掉边<C,F>和<C,G>,并将F和G加入到Q中。
    (01) 将B加入到排序结果中,然后去掉边<B,A>和<B,D>;此时,由于A和D没有依赖顶点,因此并将A和D加入到队列Q中。
    (02) 将C加入到排序结果中,然后去掉边<C,F>和<C,G>;此时,由于F有依赖顶点D,G有依赖顶点A,因此不对F和G进行处理。
第2步:将A,D依次加入到排序结果中。
    第1步访问之后,A,D都是没有依赖顶点的,根据存储顺序,先访问A,然后访问D。访问之后,删除顶点A和顶点D的出边。
第3步:将E,F,G依次加入到排序结果中。

因此访问顺序是:B -> C -> A -> D -> E -> F -> G

拓扑排序的代码说明

拓扑排序是对有向无向图的排序。下面以邻接表实现的有向图来对拓扑排序进行说明。

1. 基本定义

// 邻接表中表对应的链表的顶点
typedef struct _ENode
{
    int ivex;                   // 该边所指向的顶点的位置
    struct _ENode *next_edge;   // 指向下一条弧的指针
}ENode, *PENode;

// 邻接表中表的顶点
typedef struct _VNode
{
    char data;              // 顶点信息
    ENode *first_edge;      // 指向第一条依附该顶点的弧
}VNode;

// 邻接表
typedef struct _LGraph
{
    int vexnum;             // 图的顶点的数目
    int edgnum;             // 图的边的数目
    VNode vexs[MAX];
}LGraph;

(01) LGraph是邻接表对应的结构体。 vexnum是顶点数,edgnum是边数;vexs则是保存顶点信息的一维数组。
(02) VNode是邻接表顶点对应的结构体。 data是顶点所包含的数据,而firstedge是该顶点所包含链表的表头指针。
(03) ENode是邻接表顶点所包含的链表的节点对应的结构体。 ivex是该节点所对应的顶点在vexs中的索引,而next
edge是指向下一个节点的。

2. 拓扑排序

/*
 * 拓扑排序
 *
 * 参数说明:
 *     G -- 邻接表表示的有向图
 * 返回值:
 *     -1 -- 失败(由于内存不足等原因导致)
 *      0 -- 成功排序,并输入结果
 *      1 -- 失败(该有向图是有环的)
 */
int topological_sort(LGraph G)
{
    int i,j;
    int index = 0;
    int head = 0;           // 辅助队列的头
    int rear = 0;           // 辅助队列的尾
    int *queue;             // 辅组队列
    int *ins;               // 入度数组
    char *tops;             // 拓扑排序结果数组,记录每个节点的排序后的序号。
    int num = G.vexnum;
    ENode *node;

    ins  = (int *)malloc(num*sizeof(int));  // 入度数组
    tops = (char *)malloc(num*sizeof(char));// 拓扑排序结果数组
    queue = (int *)malloc(num*sizeof(int)); // 辅助队列
    assert(ins!=NULL && tops!=NULL && queue!=NULL);
    memset(ins, 0, num*sizeof(int));
    memset(tops, 0, num*sizeof(char));
    memset(queue, 0, num*sizeof(int));

    // 统计每个顶点的入度数
    for(i = 0; i < num; i++)
    {
        node = G.vexs[i].first_edge;
        while (node != NULL)
        {
            ins[node->ivex]++;
            node = node->next_edge;
        }
    }

    // 将所有入度为0的顶点入队列
    for(i = 0; i < num; i ++)
        if(ins[i] == 0)
            queue[rear++] = i;          // 入队列

    while (head != rear)                // 队列非空
    {
        j = queue[head++];              // 出队列。j是顶点的序号
        tops[index++] = G.vexs[j].data; // 将该顶点添加到tops中,tops是排序结果
        node = G.vexs[j].first_edge;    // 获取以该顶点为起点的出边队列

        // 将与"node"关联的节点的入度减1;
        // 若减1之后,该节点的入度为0;则将该节点添加到队列中。
        while(node != NULL)
        {
            // 将节点(序号为node->ivex)的入度减1。
            ins[node->ivex]--;
            // 若节点的入度为0,则将其"入队列"
            if( ins[node->ivex] == 0)
                queue[rear++] = node->ivex;  // 入队列

            node = node->next_edge;
        }
    }

    if(index != G.vexnum)
    {
        printf("Graph has a cycle\n");
        free(queue);
        free(ins);
        free(tops);
        return 1;
    }

    // 打印拓扑排序结果
    printf("== TopSort: ");
    for(i = 0; i < num; i ++)
        printf("%c ", tops[i]);
    printf("\n");

    free(queue);
    free(ins);
    free(tops);
    return 0;
}

说明:
(01) queue的作用就是用来存储没有依赖顶点的顶点。它与前面所说的Q相对应。
(02) tops的作用就是用来存储排序结果。它与前面所说的T相对应。

拓扑排序的完整源码和测试程序

拓扑排序源码(list_dg.c)

posted on 2014-05-14 09:15 如果天空不死 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏