二叉堆是完全二元树或者是近似完全二元树，按照数据的排列方式可以分为两种：最大堆和最小堆。
最大堆：父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值；最小堆：父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值。

二叉堆一般都通过"数组"来实现，下面是数组实现的最大堆和最小堆的示意图：

二叉堆的图文解析

图文解析是以"最大堆"来进行介绍的。
最大堆的核心内容是"添加"和"删除"，理解这两个算法，二叉堆也就基本掌握了。下面对它们进行介绍，其它内容请参考后面的完整源码。

1. 添加

假设在最大堆[90,80,70,60,40,30,20,10,50]种添加85，需要执行的步骤如下：

如上图所示，当向最大堆中添加数据时：先将数据加入到最大堆的最后，然后尽可能把这个元素往上挪，直到挪不动为止！
将85添加到[90,80,70,60,40,30,20,10,50]中后，最大堆变成了[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]。

最大堆的插入代码(Java语言)

/*
 * 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
 *
 * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
 *
 * 参数说明：
 *     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
 */
protected void filterup(int start) {
    int c = start;            // 当前节点(current)的位置
    int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置 
    T tmp = mHeap.get(c);        // 当前节点(current)的大小

    while(c > 0) {
        int cmp = mHeap.get(p).compareTo(tmp);
        if(cmp >= 0)
            break;
        else {
            mHeap.set(c, mHeap.get(p));
            c = p;
            p = (p-1)/2;   
        }       
    }
    mHeap.set(c, tmp);
}
  
/* 
 * 将data插入到二叉堆中
 */
public void insert(T data) {
    int size = mHeap.size();

    mHeap.add(data);    // 将"数组"插在表尾
    filterup(size);        // 向上调整堆
}

insert(data)的作用：将数据data添加到最大堆中。mHeap是动态数组ArrayList对象。
当堆已满的时候，添加失败；否则data添加到最大堆的末尾。然后通过上调算法重新调整数组，使之重新成为最大堆。

2. 删除

假设从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除90，需要执行的步骤如下：

如上图所示，当从最大堆中删除数据时：先删除该数据，然后用最大堆中最后一个的元素插入这个空位；接着，把这个“空位”尽量往上挪，直到剩余的数据变成一个最大堆。
从[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]删除90之后，最大堆变成了[85,80,70,60,40,30,20,10,50]。

注意：考虑从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除60，执行的步骤不能单纯的用它的字节点来替换；而必须考虑到"替换后的树仍然要是最大堆"！

二叉堆的删除代码(Java语言)

/* 
 * 最大堆的向下调整算法
 *
 * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
 *
 * 参数说明：
 *     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
 *     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
 */
protected void filterdown(int start, int end) {
    int c = start;          // 当前(current)节点的位置
    int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
    T tmp = mHeap.get(c);    // 当前(current)节点的大小

    while(l <= end) {
        int cmp = mHeap.get(l).compareTo(mHeap.get(l+1));
        // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
        if(l < end && cmp<0)
            l++;        // 左右两孩子中选择较大者，即mHeap[l+1]
        cmp = tmp.compareTo(mHeap.get(l));
        if(cmp >= 0)
            break;        //调整结束
        else {
            mHeap.set(c, mHeap.get(l));
            c = l;
            l = 2*l + 1;   
        }       
    }   
    mHeap.set(c, tmp);
}

/*
 * 删除最大堆中的data
 *
 * 返回值：
 *      0，成功
 *     -1，失败
 */
public int remove(T data) {
    // 如果"堆"已空，则返回-1
    if(mHeap.isEmpty() == true)
        return -1;

    // 获取data在数组中的索引
    int index = mHeap.indexOf(data);
    if (index==-1)
        return -1;

    int size = mHeap.size();
    mHeap.set(index, mHeap.get(size-1));// 用最后元素填补
    mHeap.remove(size - 1);                // 删除最后的元素

    if (mHeap.size() > 1)
        filterdown(index, mHeap.size()-1);    // 从index号位置开始自上向下调整为最小堆

    return 0;
}

二叉堆的Java实现(完整源码)

二叉堆的实现同时包含了"最大堆"和"最小堆"。
二叉堆(最大堆)的实现文件(MaxHeap.java)

  1 /**
  2  * 二叉堆(最大堆)
  3  *
  4  * @author skywang
  5  * @date 2014/03/07
  6  */
  7 
  8 import java.util.ArrayList;
  9 import java.util.List;
 10 
 11 public class MaxHeap<T extends Comparable<T>> {
 12 
 13     private List<T> mHeap;    // 队列(实际上是动态数组ArrayList的实例)
 14 
 15     public MaxHeap() {
 16         this.mHeap = new ArrayList<T>();
 17     }
 18 
 19     /* 
 20      * 最大堆的向下调整算法
 21      *
 22      * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
 23      *
 24      * 参数说明：
 25      *     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
 26      *     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
 27      */
 28     protected void filterdown(int start, int end) {
 29         int c = start;          // 当前(current)节点的位置
 30         int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
 31         T tmp = mHeap.get(c);    // 当前(current)节点的大小
 32 
 33         while(l <= end) {
 34             int cmp = mHeap.get(l).compareTo(mHeap.get(l+1));
 35             // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
 36             if(l < end && cmp<0)
 37                 l++;        // 左右两孩子中选择较大者，即mHeap[l+1]
 38             cmp = tmp.compareTo(mHeap.get(l));
 39             if(cmp >= 0)
 40                 break;        //调整结束
 41             else {
 42                 mHeap.set(c, mHeap.get(l));
 43                 c = l;
 44                 l = 2*l + 1;   
 45             }       
 46         }   
 47         mHeap.set(c, tmp);
 48     }
 49 
 50     /*
 51      * 删除最大堆中的data
 52      *
 53      * 返回值：
 54      *      0，成功
 55      *     -1，失败
 56      */
 57     public int remove(T data) {
 58         // 如果"堆"已空，则返回-1
 59         if(mHeap.isEmpty() == true)
 60             return -1;
 61 
 62         // 获取data在数组中的索引
 63         int index = mHeap.indexOf(data);
 64         if (index==-1)
 65             return -1;
 66 
 67         int size = mHeap.size();
 68         mHeap.set(index, mHeap.get(size-1));// 用最后元素填补
 69         mHeap.remove(size - 1);                // 删除最后的元素
 70 
 71         if (mHeap.size() > 1)
 72             filterdown(index, mHeap.size()-1);    // 从index号位置开始自上向下调整为最小堆
 73 
 74         return 0;
 75     }
 76 
 77     /*
 78      * 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
 79      *
 80      * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
 81      *
 82      * 参数说明：
 83      *     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
 84      */
 85     protected void filterup(int start) {
 86         int c = start;            // 当前节点(current)的位置
 87         int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置 
 88         T tmp = mHeap.get(c);        // 当前节点(current)的大小
 89 
 90         while(c > 0) {
 91             int cmp = mHeap.get(p).compareTo(tmp);
 92             if(cmp >= 0)
 93                 break;
 94             else {
 95                 mHeap.set(c, mHeap.get(p));
 96                 c = p;
 97                 p = (p-1)/2;   
 98             }       
 99         }
100         mHeap.set(c, tmp);
101     }
102       
103     /* 
104      * 将data插入到二叉堆中
105      */
106     public void insert(T data) {
107         int size = mHeap.size();
108 
109         mHeap.add(data);    // 将"数组"插在表尾
110         filterup(size);        // 向上调整堆
111     }
112 
113     @Override
114     public String toString() {
115         StringBuilder sb = new StringBuilder();
116         for (int i=0; i<mHeap.size(); i++)
117             sb.append(mHeap.get(i) +" ");
118 
119         return sb.toString();
120     }
121  
122     public static void main(String[] args) {
123         int i;
124         int a[] = {10, 40, 30, 60, 90, 70, 20, 50, 80};
125         MaxHeap<Integer> tree=new MaxHeap<Integer>();
126 
127         System.out.printf("== 依次添加: ");
128         for(i=0; i<a.length; i++) {
129             System.out.printf("%d ", a[i]);
130             tree.insert(a[i]);
131         }
132 
133         System.out.printf("\n== 最 大 堆: %s", tree);
134 
135         i=85;
136         tree.insert(i);
137         System.out.printf("\n== 添加元素: %d", i);
138         System.out.printf("\n== 最 大 堆: %s", tree);
139 
140         i=90;
141         tree.remove(i);
142         System.out.printf("\n== 删除元素: %d", i);
143         System.out.printf("\n== 最 大 堆: %s", tree);
144         System.out.printf("\n");
145     }
146 }

View Code

二叉堆(最小堆)的实现文件(MinHeap.java)

  1 /**
  2  * 二叉堆(最小堆)
  3  *
  4  * @author skywang
  5  * @date 2014/03/07
  6  */
  7 
  8 import java.util.ArrayList;
  9 import java.util.List;
 10 
 11 public class MinHeap<T extends Comparable<T>> {
 12 
 13     private List<T> mHeap;        // 存放堆的数组
 14 
 15     public MinHeap() {
 16         this.mHeap = new ArrayList<T>();
 17     }
 18 
 19     /* 
 20      * 最小堆的向下调整算法
 21      *
 22      * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
 23      *
 24      * 参数说明：
 25      *     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
 26      *     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
 27      */
 28     protected void filterdown(int start, int end) {
 29         int c = start;          // 当前(current)节点的位置
 30         int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
 31         T tmp = mHeap.get(c);    // 当前(current)节点的大小
 32 
 33         while(l <= end) {
 34             int cmp = mHeap.get(l).compareTo(mHeap.get(l+1));
 35             // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
 36             if(l < end && cmp>0)
 37                 l++;        // 左右两孩子中选择较小者，即mHeap[l+1]
 38 
 39             cmp = tmp.compareTo(mHeap.get(l));
 40             if(cmp <= 0)
 41                 break;        //调整结束
 42             else {
 43                 mHeap.set(c, mHeap.get(l));
 44                 c = l;
 45                 l = 2*l + 1;   
 46             }       
 47         }   
 48         mHeap.set(c, tmp);
 49     }
 50      
 51     /*
 52      * 最小堆的删除
 53      *
 54      * 返回值：
 55      *     成功，返回被删除的值
 56      *     失败，返回null
 57      */
 58     public int remove(T data) {
 59         // 如果"堆"已空，则返回-1
 60         if(mHeap.isEmpty() == true)
 61             return -1;
 62 
 63         // 获取data在数组中的索引
 64         int index = mHeap.indexOf(data);
 65         if (index==-1)
 66             return -1;
 67 
 68         int size = mHeap.size();
 69         mHeap.set(index, mHeap.get(size-1));// 用最后元素填补
 70         mHeap.remove(size - 1);                // 删除最后的元素
 71 
 72         if (mHeap.size() > 1)
 73             filterdown(index, mHeap.size()-1);    // 从index号位置开始自上向下调整为最小堆
 74 
 75         return 0;
 76     }
 77 
 78     /*
 79      * 最小堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
 80      *
 81      * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
 82      *
 83      * 参数说明：
 84      *     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
 85      */
 86     protected void filterup(int start) {
 87         int c = start;            // 当前节点(current)的位置
 88         int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置 
 89         T tmp = mHeap.get(c);        // 当前节点(current)的大小
 90 
 91         while(c > 0) {
 92             int cmp = mHeap.get(p).compareTo(tmp);
 93             if(cmp <= 0)
 94                 break;
 95             else {
 96                 mHeap.set(c, mHeap.get(p));
 97                 c = p;
 98                 p = (p-1)/2;   
 99             }       
100         }
101         mHeap.set(c, tmp);
102     }
103  
104     /* 
105      * 将data插入到二叉堆中
106      */
107     public void insert(T data) {
108         int size = mHeap.size();
109 
110         mHeap.add(data);    // 将"数组"插在表尾
111         filterup(size);        // 向上调整堆
112     }
113        
114     public String toString() {
115         StringBuilder sb = new StringBuilder();
116         for (int i=0; i<mHeap.size(); i++)
117             sb.append(mHeap.get(i) +" ");
118 
119         return sb.toString();
120     }
121 
122     public static void main(String[] args) {
123         int i;
124         int a[] = {80, 40, 30, 60, 90, 70, 10, 50, 20};
125         MinHeap<Integer> tree=new MinHeap<Integer>();
126 
127         System.out.printf("== 依次添加: ");
128         for(i=0; i<a.length; i++) {
129             System.out.printf("%d ", a[i]);
130             tree.insert(a[i]);
131         }
132 
133         System.out.printf("\n== 最 小 堆: %s", tree);
134 
135         i=15;
136         tree.insert(i);
137         System.out.printf("\n== 添加元素: %d", i);
138         System.out.printf("\n== 最 小 堆: %s", tree);
139 
140         i=10;
141         tree.remove(i);
142         System.out.printf("\n== 删除元素: %d", i);
143         System.out.printf("\n== 最 小 堆: %s", tree);
144         System.out.printf("\n");
145     }
146 }

View Code

二叉堆的Java测试程序

测试程序已经包含在相应的实现文件中了，这里只说明运行结果。

最大堆(MaxHeap.java)的运行结果：

== 依次添加: 10 40 30 60 90 70 20 50 80 
== 最 大 堆: 90 80 70 60 40 30 20 10 50 
== 添加元素: 85
== 最 大 堆: 90 85 70 60 80 30 20 10 50 40 
== 删除元素: 90
== 最 大 堆: 85 80 70 60 40 30 20 10 50

最小堆(MinHeap.java)的运行结果：

== 最 小 堆: 10 20 30 50 90 70 40 80 60 
== 添加元素: 15
== 最 小 堆: 10 15 30 50 20 70 40 80 60 90 
== 删除元素: 10
== 最 小 堆: 15 20 30 50 90 70 40 80 60

PS. 二叉堆是"堆排序"的理论基石。以后讲解算法时会讲解到"堆排序"，理解了"二叉堆"之后，"堆排序"就很简单了。

posted on 2014-04-07 08:20 如果天空不死阅读(13516) 评论(8) 编辑收藏举报

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二叉堆的图文解析

二叉堆的Java实现(完整源码)

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