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概要

本章介绍二叉堆,二叉堆就是通常我们所说的数据结构中"堆"中的一种。和以往一样,本文会先对二叉堆的理论知识进行简单介绍,然后给出C语言的实现。后续再分别给出C++和Java版本的实现;实现的语言虽不同,但是原理如出一辙,选择其中之一进行了解即可。若文章有错误或不足的地方,请不吝指出!

目录
1. 堆和二叉堆的介绍
2. 二叉堆的图文解析
3. 二叉堆的C实现(完整源码)
4. 二叉堆的C测试程序

转载请注明出处:http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3610187.html


更多内容:数据结构与算法系列 目录

(01) 二叉堆(一)之 图文解析 和 C语言的实现
(02) 二叉堆(二)之 C++的实现
(03) 二叉堆(三)之 Java的实

 

堆和二叉堆的介绍

堆的定义

堆(heap),这里所说的堆是数据结构中的堆,而不是内存模型中的堆。堆通常是一个可以被看做一棵树,它满足下列性质:
[性质一] 堆中任意节点的值总是不大于(不小于)其子节点的值;
[性质二] 堆总是一棵完全树。
将任意节点不大于其子节点的堆叫做最小堆小根堆,而将任意节点不小于其子节点的堆叫做最大堆大根堆。常见的堆有二叉堆、左倾堆、斜堆、二项堆、斐波那契堆等等。

 

二叉堆的定义

二叉堆是完全二元树或者是近似完全二元树,它分为两种:最大堆最小堆
最大堆:父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值;最小堆:父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值。示意图如下:

 

二叉堆一般都通过"数组"来实现。数组实现的二叉堆,父节点和子节点的位置存在一定的关系。有时候,我们将"二叉堆的第一个元素"放在数组索引0的位置,有时候放在1的位置。当然,它们的本质一样(都是二叉堆),只是实现上稍微有一丁点区别。
假设"第一个元素"在数组中的索引为 0 的话,则父节点和子节点的位置关系如下:
(01) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+1);
(02) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+2);
(03) 索引为i的父结点的索引是 floor((i-1)/2);

 

假设"第一个元素"在数组中的索引为 1 的话,则父节点和子节点的位置关系如下:
(01) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i);
(02) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+1);
(03) 索引为i的父结点的索引是 floor(i/2);

 

注意:本文二叉堆的实现统统都是采用"二叉堆第一个元素在数组索引为0"的方式!

 

二叉堆的图文解析

在前面,我们已经了解到:"最大堆"和"最小堆"是对称关系。这也意味着,了解其中之一即可。本节的图文解析是以"最大堆"来进行介绍的。

二叉堆的核心是"添加节点"和"删除节点",理解这两个算法,二叉堆也就基本掌握了。下面对它们进行介绍。

 

1. 添加

假设在最大堆[90,80,70,60,40,30,20,10,50]种添加85,需要执行的步骤如下:

如上图所示,当向最大堆中添加数据时:先将数据加入到最大堆的最后,然后尽可能把这个元素往上挪,直到挪不动为止!
将85添加到[90,80,70,60,40,30,20,10,50]中后,最大堆变成了[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]。

 

最大堆的插入代码(C语言)

/*
 * 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0,调整堆)
 *
 * 注:数组实现的堆中,第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1),右孩子的索引是(2N+2)。
 *
 * 参数说明:
 *     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
 */
static void maxheap_filterup(int start)
{
    int c = start;            // 当前节点(current)的位置
    int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置 
    int tmp = m_heap[c];        // 当前节点(current)的大小

    while(c > 0)
    {
        if(m_heap[p] >= tmp)
            break;
        else
        {
            m_heap[c] = m_heap[p];
            c = p;
            p = (p-1)/2;   
        }       
    }
    m_heap[c] = tmp;
}
  
/* 
 * 将data插入到二叉堆中
 *
 * 返回值:
 *     0,表示成功
 *    -1,表示失败
 */
int maxheap_insert(int data)
{
    // 如果"堆"已满,则返回
    if(m_size == m_capacity)
        return -1;
 
    m_heap[m_size] = data;        // 将"数组"插在表尾
    maxheap_filterup(m_size);    // 向上调整堆
    m_size++;                    // 堆的实际容量+1

    return 0;
}

maxheap_insert(data)的作用:将数据data添加到最大堆中。
当堆已满的时候,添加失败;否则data添加到最大堆的末尾。然后通过上调算法重新调整数组,使之重新成为最大堆。

 

2. 删除

假设从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除90,需要执行的步骤如下:

从[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]删除90之后,最大堆变成了[85,80,70,60,40,30,20,10,50]。
如上图所示,当从最大堆中删除数据时:先删除该数据,然后用最大堆中最后一个的元素插入这个空位;接着,把这个“空位”尽量往上挪,直到剩余的数据变成一个最大堆。

注意:考虑从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除60,执行的步骤不能单纯的用它的子节点来替换;而必须考虑到"替换后的树仍然要是最大堆"!

 

最大堆的删除代码(C语言)

/* 
 * 返回data在二叉堆中的索引
 *
 * 返回值:
 *     存在 -- 返回data在数组中的索引
 *     不存在 -- -1
 */
int get_index(int data)
{
    int i=0;

    for(i=0; i<m_size; i++)
        if (data==m_heap[i])
            return i;

    return -1;
}

/* 
 * 最大堆的向下调整算法
 *
 * 注:数组实现的堆中,第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1),右孩子的索引是(2N+2)。
 *
 * 参数说明:
 *     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0,表示从第1个开始)
 *     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
 */
static void maxheap_filterdown(int start, int end)
{
    int c = start;          // 当前(current)节点的位置
    int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
    int tmp = m_heap[c];    // 当前(current)节点的大小

    while(l <= end)
    {
        // "l"是左孩子,"l+1"是右孩子
        if(l < end && m_heap[l] < m_heap[l+1])
            l++;        // 左右两孩子中选择较大者,即m_heap[l+1]
        if(tmp >= m_heap[l])
            break;        //调整结束
        else
        {
            m_heap[c] = m_heap[l];
            c = l;
            l = 2*l + 1;   
        }       
    }   
    m_heap[c] = tmp;
}

/*
 * 删除最大堆中的data
 *
 * 返回值:
 *      0,成功
 *     -1,失败
 */
int maxheap_remove(int data)
{
    int index;
    // 如果"堆"已空,则返回-1
    if(m_size == 0)
        return -1;

    // 获取data在数组中的索引
    index = get_index(data); 
    if (index==-1)
        return -1;

    m_heap[index] = m_heap[--m_size];        // 用最后元素填补
    maxheap_filterdown(index, m_size-1);    // 从index位置开始自上向下调整为最大堆

    return 0;
}

maxheap_remove(data)的作用:从最大堆中删除数据data。
当堆已经为空的时候,删除失败;否则查处data在最大堆数组中的位置。找到之后,先用最后的元素来替换被删除元素;然后通过下调算法重新调整数组,使之重新成为最大堆。

该"示例的完整代码"以及"最小堆的相关代码",请参考下面的二叉堆的实现。

 

二叉堆的C实现(完整源码)

二叉堆的实现同时包含了"最大堆"和"最小堆",它们是对称关系;理解一个,另一个就非常容易懂了。

二叉堆(最大堆)的实现文件(max_heap.c)

  1 /**
  2  * 二叉堆(最大堆)
  3  *
  4  * @author skywang
  5  * @date 2014/03/07
  6  */
  7 
  8 #include <stdio.h>
  9 #include <stdlib.h>
 10 
 11 #define LENGTH(a) ( (sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) )
 12 
 13 static int m_heap[30];        // 数据
 14 static int m_capacity=30;    // 总的容量
 15 static int m_size=0;        // 实际容量(初始化为0)
 16  
 17 /* 
 18  * 返回data在二叉堆中的索引
 19  *
 20  * 返回值:
 21  *     存在 -- 返回data在数组中的索引
 22  *     不存在 -- -1
 23  */
 24 int get_index(int data)
 25 {
 26     int i=0;
 27 
 28     for(i=0; i<m_size; i++)
 29         if (data==m_heap[i])
 30             return i;
 31 
 32     return -1;
 33 }
 34 
 35 /* 
 36  * 最大堆的向下调整算法
 37  *
 38  * 注:数组实现的堆中,第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1),右孩子的索引是(2N+2)。
 39  *
 40  * 参数说明:
 41  *     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0,表示从第1个开始)
 42  *     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
 43  */
 44 static void maxheap_filterdown(int start, int end)
 45 {
 46     int c = start;          // 当前(current)节点的位置
 47     int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
 48     int tmp = m_heap[c];    // 当前(current)节点的大小
 49 
 50     while(l <= end)
 51     {
 52         // "l"是左孩子,"l+1"是右孩子
 53         if(l < end && m_heap[l] < m_heap[l+1])
 54             l++;        // 左右两孩子中选择较大者,即m_heap[l+1]
 55         if(tmp >= m_heap[l])
 56             break;        //调整结束
 57         else
 58         {
 59             m_heap[c] = m_heap[l];
 60             c = l;
 61             l = 2*l + 1;   
 62         }       
 63     }   
 64     m_heap[c] = tmp;
 65 }
 66 
 67 /*
 68  * 删除最大堆中的data
 69  *
 70  * 返回值:
 71  *      0,成功
 72  *     -1,失败
 73  */
 74 int maxheap_remove(int data)
 75 {
 76     int index;
 77     // 如果"堆"已空,则返回-1
 78     if(m_size == 0)
 79         return -1;
 80 
 81     // 获取data在数组中的索引
 82     index = get_index(data); 
 83     if (index==-1)
 84         return -1;
 85 
 86     m_heap[index] = m_heap[--m_size];        // 用最后元素填补
 87     maxheap_filterdown(index, m_size-1);    // 从index位置开始自上向下调整为最大堆
 88 
 89     return 0;
 90 }
 91 
 92 /*
 93  * 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0,调整堆)
 94  *
 95  * 注:数组实现的堆中,第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1),右孩子的索引是(2N+2)。
 96  *
 97  * 参数说明:
 98  *     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
 99  */
100 static void maxheap_filterup(int start)
101 {
102     int c = start;            // 当前节点(current)的位置
103     int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置 
104     int tmp = m_heap[c];        // 当前节点(current)的大小
105 
106     while(c > 0)
107     {
108         if(m_heap[p] >= tmp)
109             break;
110         else
111         {
112             m_heap[c] = m_heap[p];
113             c = p;
114             p = (p-1)/2;   
115         }       
116     }
117     m_heap[c] = tmp;
118 }
119   
120 /* 
121  * 将data插入到二叉堆中
122  *
123  * 返回值:
124  *     0,表示成功
125  *    -1,表示失败
126  */
127 int maxheap_insert(int data)
128 {
129     // 如果"堆"已满,则返回
130     if(m_size == m_capacity)
131         return -1;
132  
133     m_heap[m_size] = data;        // 将"数组"插在表尾
134     maxheap_filterup(m_size);    // 向上调整堆
135     m_size++;                    // 堆的实际容量+1
136 
137     return 0;
138 }
139   
140 /* 
141  * 打印二叉堆
142  *
143  * 返回值:
144  *     0,表示成功
145  *    -1,表示失败
146  */
147 void maxheap_print()
148 {
149     int i;
150     for (i=0; i<m_size; i++)
151         printf("%d ", m_heap[i]);
152 }
153     
154 void main()
155 {
156     int a[] = {10, 40, 30, 60, 90, 70, 20, 50, 80};
157     int i, len=LENGTH(a);
158 
159     printf("== 依次添加: ");
160     for(i=0; i<len; i++)
161     {
162         printf("%d ", a[i]);
163         maxheap_insert(a[i]);
164     }
165 
166     printf("\n== 最 大 堆: ");
167     maxheap_print();
168 
169     i=85;
170     maxheap_insert(i);
171     printf("\n== 添加元素: %d", i);
172     printf("\n== 最 大 堆: ");
173     maxheap_print();
174 
175     i=90;
176     maxheap_remove(i);
177     printf("\n== 删除元素: %d", i);
178     printf("\n== 最 大 堆: ");
179     maxheap_print();
180     printf("\n");
181 }
View Code

二叉堆(最小堆)的实现文件(min_heap.c)

  1 /**
  2  * 二叉堆(最小堆)
  3  *
  4  * @author skywang
  5  * @date 2014/03/07
  6  */
  7 
  8 #include <stdio.h>
  9 #include <stdlib.h>
 10 
 11 #define LENGTH(a) ( (sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) )
 12 
 13 static int m_heap[30];
 14 static int m_capacity=30;    // 总的容量
 15 static int m_size=0;        // 实际容量(初始化为0)
 16  
 17 /* 
 18  * 返回data在二叉堆中的索引
 19  *
 20  * 返回值:
 21  *     存在 -- 返回data在数组中的索引
 22  *     不存在 -- -1
 23  */
 24 int get_index(int data)
 25 {
 26     int i=0;
 27 
 28     for(i=0; i<m_size; i++)
 29         if (data==m_heap[i])
 30             return i;
 31 
 32     return -1;
 33 }
 34 
 35 /* 
 36  * 最小堆的向下调整算法
 37  *
 38  * 注:数组实现的堆中,第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1),右孩子的索引是(2N+2)。
 39  *
 40  * 参数说明:
 41  *     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0,表示从第1个开始)
 42  *     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
 43  */
 44 static void minheap_filterdown(int start, int end)
 45 {
 46     int c = start;          // 当前(current)节点的位置
 47     int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
 48     int tmp = m_heap[c];    // 当前(current)节点的大小
 49 
 50     while(l <= end)
 51     {
 52         // "l"是左孩子,"l+1"是右孩子
 53         if(l < end && m_heap[l] > m_heap[l+1])
 54             l++;        // 左右两孩子中选择较小者,即m_heap[l+1]
 55         if(tmp <= m_heap[l])
 56             break;        //调整结束
 57         else
 58         {
 59             m_heap[c] = m_heap[l];
 60             c = l;
 61             l = 2*l + 1;   
 62         }       
 63     }   
 64     m_heap[c] = tmp;
 65 }
 66  
 67 /*
 68  * 删除最小堆中的data
 69  *
 70  * 返回值:
 71  *      0,成功
 72  *     -1,失败
 73  */
 74 int minheap_remove(int data)
 75 {
 76     int index;
 77     // 如果"堆"已空,则返回-1
 78     if(m_size == 0)
 79         return -1;
 80 
 81     // 获取data在数组中的索引
 82     index = get_index(data); 
 83     if (index==-1)
 84         return -1;
 85 
 86     m_heap[index] = m_heap[--m_size];        // 用最后元素填补
 87     minheap_filterdown(index, m_size-1);    // 从index号位置开始自上向下调整为最小堆
 88 
 89     return 0;
 90 }
 91 
 92 /*
 93  * 最小堆的向上调整算法(从start开始向上直到0,调整堆)
 94  *
 95  * 注:数组实现的堆中,第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1),右孩子的索引是(2N+2)。
 96  *
 97  * 参数说明:
 98  *     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
 99  */
100 static void filter_up(int start)
101 {
102     int c = start;            // 当前节点(current)的位置
103     int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置 
104     int tmp = m_heap[c];        // 当前节点(current)的大小
105 
106     while(c > 0)
107     {
108         if(m_heap[p] <= tmp)
109             break;
110         else
111         {
112             m_heap[c] = m_heap[p];
113             c = p;
114             p = (p-1)/2;   
115         }       
116     }
117     m_heap[c] = tmp;
118 }
119   
120 /* 
121  * 将data插入到二叉堆中
122  *
123  * 返回值:
124  *     0,表示成功
125  *    -1,表示失败
126  */
127 int minheap_insert(int data)
128 {
129     // 如果"堆"已满,则返回
130     if(m_size == m_capacity)
131         return -1;
132  
133     m_heap[m_size] = data;        // 将"数组"插在表尾
134     filter_up(m_size);            // 向上调整堆
135     m_size++;                    // 堆的实际容量+1
136 
137     return 0;
138 }
139   
140 /* 
141  * 打印二叉堆
142  *
143  * 返回值:
144  *     0,表示成功
145  *    -1,表示失败
146  */
147 void minheap_print()
148 {
149     int i;
150     for (i=0; i<m_size; i++)
151         printf("%d ", m_heap[i]);
152 }
153 
154 void main()
155 {
156     int a[] = {80, 40, 30, 60, 90, 70, 10, 50, 20};
157     int i, len=LENGTH(a);
158 
159     printf("== 依次添加: ");
160     for(i=0; i<len; i++)
161     {
162         printf("%d ", a[i]);
163         minheap_insert(a[i]);
164     }
165 
166     printf("\n== 最 小 堆: ");
167     minheap_print();
168 
169     i=15;
170     minheap_insert(i);
171     printf("\n== 添加元素: %d", i);
172     printf("\n== 最 小 堆: ");
173     minheap_print();
174 
175     i=10;
176     minheap_remove(i);
177     printf("\n== 删除元素: %d", i);
178     printf("\n== 最 小 堆: ");
179     minheap_print();
180     printf("\n");
181 }
View Code

 

 

二叉堆的C测试程序

测试程序已经包含在相应的实现文件中了,这里就不再重复说明了。

最大堆(max_heap.c)的运行结果:

== 依次添加: 10 40 30 60 90 70 20 50 80 
== 最 大 堆: 90 80 70 60 40 30 20 10 50 
== 添加元素: 85
== 最 大 堆: 90 85 70 60 80 30 20 10 50 40 
== 删除元素: 90
== 最 大 堆: 85 80 70 60 40 30 20 10 50 

最小堆(min_heap.c)的运行结果:

== 依次添加: 80 40 30 60 90 70 10 50 20 
== 最 小 堆: 10 20 30 50 90 70 40 80 60 
== 添加元素: 15
== 最 小 堆: 10 15 30 50 20 70 40 80 60 90 
== 删除元素: 10
== 最 小 堆: 15 20 30 50 90 70 40 80 60 

 

PS. 二叉堆是"堆排序"的理论基石。以后讲解算法时会讲解到"堆排序",理解了"二叉堆"之后,"堆排序"就很简单了。

 

posted on 2014-04-05 09:11 如果天空不死 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏