乘法逆元

定义

如果有\(a x \equiv 1(\bmod b)\)，则称\(x\)为\(a \ mod \ b\)的逆元，记作\(a^{-1}.\)

性质

\[\frac{x}{y} \equiv x \times y^{-1} \quad(\bmod p) \]

计算方法

• 扩展欧几里得

限制：

\[gcd(a,b)=1 \]

  #include <iostream>
  using namespace std;

  void Exgcd(int a , int b , int &x , int &y){
    	if(!b) x = 1 , y = 0;
    	else Exgcd(b , a % b , y , x) , y -= (a / b) * x;
  }

  int main(){
    	int n , p , x , y;
    	ios::sync_with_stdio(false);
    	cin >> n >> p;
   	 	for(int i = 1; i <= n; i++){
      		Exgcd(i , p , x , y);
      		while(x < 0) x += p;
      		x %= p;
      		cout << x << endl;
    	}
    	return 0;
  }

• 快速幂

运用费马小定理：

若\(p\)为质数，\(a\)为正整数，且\(a,p\)互质，则\(a^{p-1} \equiv 1 \ ( \bmod \ p)\)

由\(ax \equiv 1\ (\bmod\ b)\)且\(\ a^{b-1} \equiv 1\ (\bmod\ b),\)

得\(a x \equiv a^{b-1}\ (\bmod\ b),\)

得\(x \equiv a^{b-2}\ (\bmod\ b).\quad\)故可用快速幂求解:

int fpm(ll a, ll b, ll p){
		ll ans = 1; a %= p;
		for(; b; b >>= 1,(a *= a) %= p) if (b & 1) (ans *= a) %= p;
		return ans;
}	
int main(){
		ll x = fpm(a, p - 2, p);//x为a在mod p意义下的逆元
}

• 线性求逆元

  用于求一连串数字对于一个相同模数$\ p\ $的逆元

  显然，\(1^{-1} \equiv 1\ (\bmod\ p)\)

  设\(\ p=k * i+r\ ,(1<r<i<p),\)那么在\((mod\ p)\)意义下有

  \[k * i+r \equiv 0 \quad(\bmod\ p) \]

  两侧同乘\(i^{-1},r^{-1}\)得

  \[k * r^{-1}+i^{-1} \equiv 0 \quad(\bmod\ p) \]
  \[i^{-1} \equiv-k * r^{-1} \quad(\bmod\ p) \]
  \[i^{-1} \equiv-\left\lfloor\frac{p}{i}\right\rfloor *(p \bmod i)^{-1} \quad(\bmod\ p) \]

  可以得到递推代码：

  inv[1] = 1;
   for(int i = 2; i < p; ++ i)
   	inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;