裴蜀定理

内容

设\(a,b\)为不全为零的整数，则存在整数\(x,y\),使得\(ax+by=gcd(a,b).\)

证明

1. 若\(b=0\),此时\((a,b)=a.\)此时定理显然成立

2. 若\(a,b\)不等于\(0\).

   由于\(gcd(a,b)=gcd(a,-b)\),不妨设\(a \geq b > 0,gcd(a,b)=d.\)

   \(ax+by=d\)两侧同时除以\(d\)得\(a_1x+b_1y=1,\)其中\((a_1,b_1)=1.\)

   转证\(a_1x+b_1y=1.\)

   做辗转相除：

   \[a_1=q_1b_1+r_1(0 \leq r_1 < b_1) \]
   \[b_1=q_2r_1+r_2(0 \leq r_2 < r_1) \]
   \[r_1=q_3r_2+r_3(0 \leq r_3 < r_2) \]
   \[... \]
   \[r_{n-3}=q_{n-1}r_{n-2}+r_{n-1}(3) \]
   \[r_{n-2}=q_{n}r_{n-1}+r_{n}(2) \]
   \[r_{n-1}=q_{n+1}r_n \quad (1) \]

   得

   \[gcd(a_1,b_1)=gcd(b_1,r_1)=\cdots=gcd(r_{n-1},r_n)=1 \]

   故

   \[r_{n-2}=x_nr_{n-1}+1 \]

   即

   \[1=r_{n-2}-x_nr_{n-1} \]

   代入式\((3)r_{n-1}=r_{n-3}-x_{n-1}r_{n-2}\)得

   \[1=(1+x_nx_{n-1})r_{n-2}-x_nr_{n-3} \]

   同理，依次代入上式可逐一消去\(r_{n-2},\cdots,r_1,\)
   证得

   \[1=a_1x+b_1y \]