省选模拟19 题解

A. 鱼死网破（clash）

对于$k=1$的数据，容易发现只要维护每个$x$轴上面的点关于障碍两个端点的极角，并对每个端点对应的极角排序。

对于每个$x$轴下面的点，可以通过极角来二分查找哪些点是看得到的。

感觉和正解的思想差的不多。

正解用到了一步补集转化。

考虑每个$x$轴上面的点，对于每个障碍物的两个端点射出一条射线，求出对应的极角。

合并相邻的障碍物，即可得到一些左端点和右端点（通过一个类似括号匹配的方法即可实现）。

问题是使能覆盖的面积答案为$1$，其他面积的答案为$0$。

考虑将这个极角存在对应的端点上，如果是障碍的左端点，那么对应$+1$，否则对应$-1$。

这样作一个前缀和，即可满足上述的要求。

对于每一个$x$轴下面的点，枚举每个障碍的端点进行二分查找即可。

 

B. 漏网之鱼（escape）

维护区间$mex$操作。

加入一个元素，对应着指针不断上扫。

删除一个元素，对应着如果已经没有该元素，那么答案对该元素取$min$。

后者更容易维护。

考虑在右端点左移的时候，在线段树上维护每个左端点的$mex$。

容易发现操作对应着$[lst_{a_i}+1,i]$区间对$a_i$取$min$，其他区间不变。

然后直接上势能分析线段树？太麻烦了，而且复杂度不对。

容易发现$mex$函数具有单调性，所以线段树上二分找到第一个大于$a_i$的点，问题转化为区间赋值。

通过这个方法即可解决子任务D。

考虑离线询问，然后问题转化为维护历史的信息和。

所以再打个能维护历史信息和的线段树就好了。

具体来说，可以维护三种下传标记，分别是

$set$，表示区间赋值。

$mul$，表示该区间在历史信息和中已经需要自加$mul$次。

$add$，表示该区间的历史信息和需要加上$add$*区间大小。

为了保证复杂度，认为$mul$的优先级大于$set$的优先级。

当遇到$mul$覆盖$set$的情况，容易发现此时的情况是简单的，所以直接通过$add$标记累计答案。

另外维护三种上传信息，分别为子树最值，子树历史信息和，子树和即可。

 

C. 浑水摸鱼（waterflow）

子任务5是一个常见的套路部分分，很遗憾又没有想到。

对于数据随机，可以认为答案在长度比较长的时候是没有重合的，可以直接统计。

对于长度较短暴力即可。

正解用到的是后缀数组。

现在的问题是快速比较两个后缀的大小。

如果能解决这个问题，通过后缀数组求本质不同子串的方法，问题迎刃而解。

可以通过哈希二分判等，找出两个后缀相等的最长长度，然后判断下一个位置即可。

对于字符集比较小的情况，将哈希的式子展开，容易发现一个特别的做法：

首先认为每个字符的最终编号都为$1$，独立统计每个字符的$hash$值，即$\sum \limits_{i=1}^n[a_i==k]p^i$。

对于每个后缀，找到字符集的排名。之后乘上对应的系数即可找到哈希值。

对于字符集并不小，考虑抛弃题中给出的最小表示法，用另一种方法表示状态：

对每个位置，维护现在出现位置与上次出现的位置的差。

那么哈希值为$\sum \limits_{i=1}^n(i-lst_{a_i})*p^i$，容易发现哈希值与状态是一一对应的。

这个哈希值可以直接通过主席树维护了，所以问题得到解决。