[口胡] HNOI2019校园旅行

暂时没有打代码的心思，就口胡一下...

前言

关于这个题，首先要知道的一个性质：

二分图中任意两个点间经过的边数的奇偶性是唯一确定的，反正，一个联通的非二分图中任意两点间路径经过的边数奇偶性都不确定

证明:
因为二分图上只有偶环，所以路径可以看成偶环的一部分或者一条路径上绕了多次偶环。以为环是偶的，所以不绕环的任意两条路径都能拼成一个偶环，奇偶性相同。
反之，如果是联通非二分图，那么就可以绕奇环改变奇偶性。

正解

首先考虑一个30分解法

我们有一个 \(O(m^2)\) 的dp解法：设状态为 \(f(i,j)\) 表示从 \(i\) 到 \(j\) 的可达性。显然的，\((i,i)\) 与已给的边 \((u,v)\) 都是合法点对，就可以把他们加入队列里。之后，我们每次取队头，枚举左边的点所连的边和右边点所连的边，进行一个向外拓展。如果拓展后的左右点权相等就放进队列，否则就算了。

这做法其实很对，我们发现问题就出在边数很多，但点数很少。所以考虑把一些没用的边去掉。

首先我们发现，对于一个标记全为0或1的大小大于2的连通块 \(C\) 而言，如果路径 \(P\) 经过了 \(C\) ,那么我们可以往路径里面添加 \(2n\) 个这种标记，因为我们可以来回经过同一条路。所以我们只关心 \(C\) 贡献的 \(\delta\) 的奇偶性，不在意个数

结合上边的性质，我们发现，当这个 \(C\) 是二分图时，连通块内点对路径的奇偶性确定了；反之如果不是二分图那么就没法确定，可以改变。

为了去掉一部分没用的边，我们可以把每一个 \(C\) 都保留任意一颗生成树，如果不是二分图就加一个奇环，比如说自环。

这样缩完连通块之后，就只用考虑连接不同标记的边了。

我们发现一个优秀的性质，就是缩完连通块之后，这张图就被自然而然的黑白染色了，变成了一张二分图，可以继续缩成一颗生成树。

这样边数就降成了和点数同级，继续套用上边的dp方式，复杂度降为 \(O(n^2 + q)\) .

有能力了再把代码补上。