算法系列15天速成——第十五天图【下】（大结局）

今天是大结局，说下“图”的最后一点东西，“最小生成树“和”最短路径“。

一：最小生成树

1. 概念

首先看如下图，不知道大家能总结点什么。

对于一个连通图G，如果其全部顶点和一部分边构成一个子图G1，当G1满足：

① 刚好将图中所有顶点连通。②顶点不存在回路。则称G1就是G的“生成树”。

其实一句话总结就是：生成树是将原图的全部顶点以最小的边连通的子图，这不，如下的连通图可以得到下面的两个生成树。

② 对于一个带权的连通图，当生成的树不同，各边上的权值总和也不同，如果某个生成树的权值最小，则它就是“最小生成树”。

2. 场景

实际应用中“最小生成树”还是蛮有实际价值的，教科书上都有这么一句话，若用图来表示一个交通系统，每一个顶点代表一个城市，

边代表两个城市之间的距离，当有n个城市时，可能会有n(n-1)/2条边，那么怎么选择(n-1)条边来使城市之间的总距离最小，其实它

的抽象模型就是求“最小生成树”的问题。

3. prim算法

当然如何求“最小生成树”问题，前人都已经给我们总结好了，我们只要照葫芦画瓢就是了，

第一步：我们建立集合“V,U"，将图中的所有顶点全部灌到V集合中，U集合初始为空。

第二步：我们将V1放入U集合中并将V1顶点标记为已访问。此时：U（V1）。

第三步：我们寻找V1的邻接点（V2,V3,V5)，权值中发现(V1,V2)之间的权值最小，此时我们将V2放入U集合中并标记V2为已访问，

此时为U（V1，V2）。

第四步：我们找U集合中的V1和V2的邻接边，一阵痉挛后，发现（V1，V5）的权值最小，此时将V5加入到U集合并标记为已访问，此时

U的集合元素为（V1，V2，V5）。

第五步：此时我们以（V1，V2，V5）为基准向四周寻找最小权值的邻接边，发现（V5，V4）的权值最小，此时将V4加入到U集合并标记

为已访问，此时U的集合元素为（V1，V2，V5，V4）。

第六步：跟第五步形式一样，找到了（V1，V3）的权值最小，将V3加入到U集合中并标记为已访问，最终U的元素为（V1，V2，V5，V4，V3），

最终发现顶点全部被访问，最小生成树就此诞生。

 1 #region prim算法获取最小生成树
 2         /// <summary>
 3 /// prim算法获取最小生成树
 4 /// </summary>
 5 /// <param name="graph"></param>
 6         public void Prim(MatrixGraph graph, out int sum)
 7         {
 8             //已访问过的标志
 9             int used = 0;
10 
11             //非邻接顶点标志
12             int noadj = -1;
13 
14             //定义一个输出总权值的变量
15             sum = 0;
16 
17             //临时数组，用于保存邻接点的权值
18             int[] weight = new int[graph.vertexNum];
19 
20             //临时数组，用于保存顶点信息
21             int[] tempvertex = new int[graph.vertexNum];
22 
23             //取出邻接矩阵的第一行数据，也就是取出第一个顶点并将权和边信息保存于临时数据中
24             for (int i = 1; i < graph.vertexNum; i++)
25             {
26                 //保存于邻接点之间的权值
27                 weight[i] = graph.edges[0, i];
28 
29                 //等于0则说明V1与该邻接点没有边
30                 if (weight[i] == short.MaxValue)
31                     tempvertex[i] = noadj;
32                 else
33                     tempvertex[i] = int.Parse(graph.vertex[0]);
34             }
35 
36             //从集合V中取出V1节点，只需要将此节点设置为已访问过，weight为0集合
37             var index = tempvertex[0] = used;
38             var min = weight[0] = short.MaxValue;
39 
40             //在V的邻接点中找权值最小的节点
41             for (int i = 1; i < graph.vertexNum; i++)
42             {
43                 index = i;
44                 min = short.MaxValue;
45 
46                 for (int j = 1; j < graph.vertexNum; j++)
47                 {
48                     //用于找出当前节点的邻接点中权值最小的未访问点
49                     if (weight[j] < min && tempvertex[j] != 0)
50                     {
51                         min = weight[j];
52                         index = j;
53                     }
54                 }
55                 //累加权值
56                 sum += min;
57 
58                 Console.Write("({0},{1})  ", tempvertex[index], graph.vertex[index]);
59 
60                 //将取得的最小节点标识为已访问
61                 weight[index] = short.MaxValue;
62                 tempvertex[index] = 0;
63 
64                 //从最新的节点出发，将此节点的weight比较赋值
65                 for (int j = 0; j < graph.vertexNum; j++)
66                 {
67                     //已当前节点为出发点，重新选择最小边
68                     if (graph.edges[index, j] < weight[j] && tempvertex[j] != used)
69                     {
70                         weight[j] = graph.edges[index, j];
71 
72                         //这里做的目的将较短的边覆盖点上一个节点的邻接点中的较长的边
73                         tempvertex[j] = int.Parse(graph.vertex[index]);
74                     }
75                 }
76             }
77         }
78         #endregion

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二：最短路径

1. 概念

求最短路径问题其实也是非常有实用价值的，映射到交通系统图中，就是求两个城市间的最短路径问题，还是看这张图，我们可以很容易的看出比如

V1到图中各顶点的最短路径。

① V1 -> V2 直达，权为2。

② V1 -> V3 直达权为3。

③ V1->V5->V4 中转权为3+2=5。

④ V1 -> V5 直达权为3。

、

2. Dijkstra算法

我们的学习需要站在巨人的肩膀上，那么对于现实中非常复杂的问题，我们肯定不能用肉眼看出来，而是根据一定的算法推导出来的。

Dijkstra思想遵循 “走一步，看一步”的原则。

第一步：我们需要一个集合U，然后将V1放入U集合中，既然走了一步，我们就要看一步，就是比较一下V1的邻接点（V2，V3，V5），

发现（V1，V2）的权值最小，此时我们将V2放入U集合中，表示我们已经找到了V1到V2的最短路径。

第二步：然后将V2做中间点，继续向前寻找权值最小的邻接点，发现只有V4可以连通，此时修改V4的权值为（V1，V2)+(V2，V4)=6。

此时我们就要看一步，发现V1到（V3，V4，V5）中权值最小的是（V1，V5），此时将V5放入U集合中，表示我们已经找到了

V1到V5的最短路径。

第三步：然后将V5做中间点，继续向前寻找权值最小的邻接点，发现能连通的有V3，V4，当我们正想修该V3的权值时发现（V1，V3）的权值

小于（V1->V5->V3),此时我们就不修改，将V3放入U集合中，最后我们找到了V1到V3的最短路径。

第四步：因为V5还没有走完，所以继续用V5做中间点，此时只能连通(V5,V4),当要修改权值的时候，发现原来的V4权值为(V1,V2)+(V2,V4),而

现在的权值为5，小于先前的6，此时更改原先的权值变为5，将V4放入集合中，最后我们找到了V1到V4的最短路径。

 1 #region dijkstra求出最短路径
 2         /// <summary>
 3 /// dijkstra求出最短路径
 4 /// </summary>
 5 /// <param name="g"></param>
 6         public void Dijkstra(MatrixGraph g)
 7         {
 8             int[] weight = new int[g.vertexNum];
 9 
10             int[] path = new int[g.vertexNum];
11 
12             int[] tempvertex = new int[g.vertexNum];
13 
14             Console.WriteLine("\n请输入源点的编号：");
15 
16             //让用户输入要遍历的起始点
17             int vertex = int.Parse(Console.ReadLine()) - 1;
18 
19             for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++)
20             {
21                 //初始赋权值
22                 weight[i] = g.edges[vertex, i];
23 
24                 if (weight[i] < short.MaxValue && weight[i] > 0)
25                     path[i] = vertex;
26 
27                 tempvertex[i] = 0;
28             }
29 
30             tempvertex[vertex] = 1;
31             weight[vertex] = 0;
32 
33             for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++)
34             {
35                 int min = short.MaxValue;
36 
37                 int index = vertex;
38 
39                 for (int j = 0; j < g.vertexNum; j++)
40                 {
41                     //顶点的权值中找出最小的
42                     if (tempvertex[j] == 0 && weight[j] < min)
43                     {
44                         min = weight[j];
45                         index = j;
46                     }
47                 }
48 
49                 tempvertex[index] = 1;
50 
51                 //以当前的index作为中间点，找出最小的权值
52                 for (int j = 0; j < g.vertexNum; j++)
53                 {
54                     if (tempvertex[j] == 0 && weight[index] + g.edges[index, j] < weight[j])
55                     {
56                         weight[j] = weight[index] + g.edges[index, j];
57                         path[j] = index;
58                     }
59                 }
60             }
61 
62             Console.WriteLine("\n顶点{0}到各顶点的最短路径为：（终点 < 源点） " + g.vertex[vertex]);
63 
64             //最后输出
65             for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++)
66             {
67                 if (tempvertex[i] == 1)
68                 {
69                     var index = i;
70 
71                     while (index != vertex)
72                     {
73                         var j = index;
74                         Console.Write("{0} < ", g.vertex[index]);
75                         index = path[index];
76                     }
77                     Console.WriteLine("{0}\n", g.vertex[index]);
78                 }
79                 else
80                 {
81                     Console.WriteLine("{0} <- {1}: 无路径\n", g.vertex[i], g.vertex[vertex]);
82                 }
83             }
84         }
85         #endregion