浅谈前缀和与差分（一维数组）

前缀和：其实可以理解为数组前n项的和，前缀和数组s[i]=a[1]+a[2]......+a[n]。s[i] = s[i-1] + a[i] !

举个例子来实现下把：比如数组a[1]=7,a[2]=7,a[3]=5,a[4]=8,a[5]=2,a[6]=5,a[7]=8，每次需要询问序号 i 到 j 的区间和，暴力解法复杂度O[n]，可当查询次数很多范围很大的时候，无疑会超时，原因很明显，重复计算太多了。我们如果先提前算好了每一个位置的前缀和，然后用s[j]-s[i-1]，结果不就是我们这次询问的答案吗？O（1）查询不香吗？

前缀和数组我们可以在读数据的时候便可以完成了

for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        s[i]=s[i-1]+a[i];//前面的和+当前值
    }

前缀和数组的值为：s[1]=7,s[2]=14,s[3]=19,s[4]=27,s[5]=29,s[6]=34,s[7]=42

询问 i 到 j 的区间和，直接输出 s[j] - s[i-1] 即可。

差分：一阶差分是离散函数中连续相邻两项之差，数学图像上可以直观反映其数据波动性（可能吧），在算法上就是建立记录数组每项与前一项差值的差分数组, f[i] = a[i] - a[i-1] ！

具体实现方式和上述前缀和数组实现方式一样，只是公式换了下而已。那么现在再甩一个小问题题来体现以下差分的神奇之处吧！

？？：数组a[1]=7,a[2]=7,a[3]=5,a[4]=8,a[5]=2,a[6]=5,a[7]=8，每次需要对 L 和 R 之间的每个数加上 num ，求修改后的数组。 

@@：直接暴力O（n）修改，不出意外结果都是TLE，或许能用下线段树，O（logn）修改区间值，是的，复杂度上挤挤还是能过的，但先别急的打代码，想一想这个简单的小问题你要用多少操作才能解决：首先建一棵树（简单），其次写区间更新代码，中间还要写个lazy数组标记优化，然后才可以进行题目所需要的修改操作，可到这里还没结束，题目还需要打印数组，可你所修改的数组还在线段树的最底下，唉，从底层遍历打印数组又是一个麻烦的操作。当一个个bug出现时，你在想，为什么一开始不用差分来实现呢？（敲黑板！）我们直接对[L,R]区间进行加值操作，在f[L]处加一个k，在f[R+1]处就减去一个k。最后求序列的每个位置变成了多少，只需要求一下f数组的前缀和，然后和原数组按位相加就好。(这个结论的证明我不怎么会，呃呃......反正记得它是对的就行了，毕竟只是闲谈一下而已，具体证明应该是探究差分和前缀和之间的关系吧。）

现在抛出一道简单应用题:

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/5477/F
来源：牛客竞赛科大讯飞杯”第十七届同济大学程序设计预选赛暨高校网络友谊赛F题排列计算：

题目描述

天才程序员菜哭武和石头组队参加一个叫做国际排列计算竞赛 (International Competition of Permutation Calculation, ICPC) 的比赛，这个比赛的规则是这样的： 

一个选手给出一个长度为 n 的排列，另一个选手给出 m 个询问，每次询问是一个形如 (l, r) 的数对，查询队友给出的排列中第 l 个数到第 r 个数的和，并将查询到的这个区间和加入总分，最后总分最高的队伍就能获胜。

石头手速很快，在比赛一开始就给出了 m 个询问；菜哭武也很强，他总是能找到最合适的排列，使得他们队的总分尽可能高。

在看比赛直播的你看到了石头给出的 m 个询问，聪明的你能不能预测出他们队伍最终的得分呢？

一个排列是一个长度为 n 的数列，其中 1 ~ n 中的每个数都在数列中恰好出现一次。比如 [1, 3, 2] 是一个排列，而 [2, 1, 4] 和 [1, 2, 3, 3] 不是排列。 

输入描述:

第一行输入两个数 n (1≤n≤2×10⁵) 和 m (1≤m≤2×10⁵) 。
接下来 m 行，每行输入两个数 l 和 r ，代表这次查询排列中第 l 个到第 r 个的和。

输出描述:

输出一个整数，代表他们队伍总分的最大值。

题目分析：

由1~n这些数字随机组成的数列，进行m次查询，每次查询取该范围数字之和，试构造一种序列，使得结果最大化。数列中每个数对结果的贡献是查询数字乘以该数字， 因此，为了使结果最大化，我们不妨在查询次数大的位置放置大的数字，即可以用差分的方法统计每个位置出现的次数，然后按次数就行排序，出现次数越多，位置数字越大，最后统计一下他们的和就行了。

代码：

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int a[200020];
int l,r,n,m;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    while(m--) {
        scanf("%d%d",&l,&r);
        a[l]++;
        a[r+1]--;//差分记得右边加1（自己模拟下就知道了）
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        a[i]+=a[i-1];//累加更新区间值
    }
    sort(a+1,a+1+n);
    ll sum = 0;//longlong
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        sum+=i*a[i];
    }
    printf("%lld",sum);
}

总结：

最后来总结一下差分和前缀和的用途：（下课铃敲黑板◕∀◕）

　　前缀和：处理区间和问题

　　差分：快速处理区间加减操作

好了啦，下课了o(∩_∩)o