家训

菜成什么样了

2156 Div.2

D

压线过了。

考虑从低位到高位判定 0/1，每次 check 的数大约减半，那么 \(time=n+\frac{n}{2}+\frac{n}{4}+\dots=2n+\epsilon\)，有 \(\epsilon\) 是因为可能上一步只删了下取整个。

剪枝是如果当前位置只剩 0 或 1 了就 skip。

E

二分答案 \(g\)，设 \(f_{g}(i)=\sum_{j \ne i} [b_{\max(i, j}-b_{\min(i, j)}\ge g]\)。

假如 Alex 先手，那么只要有一个 \(f_{g}(i) \ge 2\) 那么他就一定能保证最终结果 \(\ge g\)，因为 Alex 锁了 \(i\) 后再锁其中一个对应的数即可。

那么考虑 Hao 最开始要删谁，显然是删完它后剩下的所有 \(f<2\)。

暴力枚举第一个删的数，朴素做是查影响的所有数，直接写线段树能做，但发现我们只需要维护前后最近的各最多 3 个点即可，于是暴力 check 即可（set 维护 3 个值，每次超出时把最大的删掉）。

submission

F1&F2

操作简述：选择 \(3(12/21)\) 变成 \(1(23/32)\)

如果首项为奇数 \(a_1=2k+1\)，则每次选 \(a_1, a_1-1, a_1-2 \to a_1-2, a_1, a_1+1\) （后面两个先后顺序不重要）

那么最后一定会变成 \(a_1=1\)，之前所有 \(<a_1\) 的数 +1

若 \(a_{1}=2k\)，注意到我们能类似把 \(a_1\) 变成 2。

考虑一个任意位置的奇数什么时候能变成 \(1\)，显然是比它小的都在它右边，

考虑最靠左的满足条件的位置 \(p\)，我们操作先使得 \(a_p=1\)，然后把 \(a_1=2\)。

因为首位是 \(2\)，所以 \(p\) 至少能被找到（即 \(a_p=1\) 算一个合法解）

这样最优的原因：考虑 \(1\le j<p\)，由于 \(\forall a_{x}<a_p, x>p\)，所以 \(a_j > a_p\)，那么减小 \(a_p\) 的时候不会对 \([1, p)\) 产生任何影响

---

那么做完上述过程递归，将剩余部分变为 \(1-(n-1/n-2)\) 的排列继续操作，复杂度 \(O(n^2)\), link。

简化上述操作，就是相当于找第一个 \(2 \nmid a_{p}, \min_{1\le j \le p} a_j=a_p\) 的 \(p\)，将其变为 1（首项为偶数时），其他的相当于按相对顺序赋值 2-n。然后把 \(1\) 删除，其余前移一位，等价于开始就把 \(p\) 删掉，所有 \(>a_p\) 的数全部 -1。

重新整理操作

1. 找 \(p\)（若首项为奇数则直接跳过 12 到第三步）
2. 删数 \(a_p\)，并使所有 \(>a_p\) 的全部 -1。
3. 删除首项，并使 \(>a_1\) 的数-1。

注意到 23 操作并没有影响相对大小，即不影响 1 操作。

维护 \(pos_i=k\) 表示 \(a_k=i\)，找合法 \(p\)，我们先满足 \(\min_{1\le j\le p} a_j=a_p \to \min_{1\le j< a_p} pos_j>p\)，考虑第一步从首项开始找，即设 \(p_1=\min_{1\le j<a_1} pos_j\)（首先 \(pos_{(i, p_1)}\) 没有一个出现的比 \(p_1\) 早，\(pos_{(p_1, a_1)}\) 的不合法（因为比它们小的 \(p_1\) 在前面），故 \(p_1\) 是满足条件 \(a_p<a_{1}, \min_{1\le j\le p} a_j=a_p\) 的最小 \(p\)），若 \(a_{p_1}\) 此时为偶数，则找 \(p_2=\min_{1\le j<a_{p_1}} pos_j\)（显然 \(a_1>a_{p_1}>a_{p_2}\)，所以 \(\min_{1\le j<a_{p_1}} pos_j\ge \min_{1\le j<a_{1}} pos_j\)，即 \(p_2 > p_1\)），同理能得到 \(p_2\) 是 \(p_1\) 右侧的满足 \(a_{p}<a_{p_1}<a_{1}, \min_{1\le j \le a_p} a_{j}=a_p\) 的最小 \(p\)，因为 \((a_{p_1}, a_1)\) 之间没有合法点，所以 \(p_2\) 相当于满足条件 \(a_p<a_{1}, \min_{1\le j\le p} a_j=a_p\) 的第二小 \(p\)。

通过上述操作，我们能不断跳每个合法点，看其是不是奇数，直到找到第一。

注意区间 -1 完全不影响剩余数的相对大小，于是 \(\min pos\) 使用线段树查，区间 -1 不操作，删数相当于变成 \(+\infty\)，查实际数额外开一个 BIT 即可。

跳的次数，如果一个 \(a_{p_i}\) 一开始被访问时是奇数，那么它立刻会被删，如果是偶数，那么它下一次必然被删，所以最多查 \(2n\) 次。link

2162 Div. 3

div3 未必没有 div2 难

G

考虑两个菊花连起来，中间边 \(n-(n-1)\)，设 \(s\) 为挂在 \(n-1\) 下的点的和，则

\[S=n(n-1)+s(n-1)+(\frac{(n-2)(n-1)}{2}-s)n=\frac{n^3-n^2}{2}-s \]

设 \(S=d^2\)，又有 \(0 \le s \le \frac{(n-2)(n-1)}{2}\)，不妨取 \(d=\lceil \sqrt{\frac{n^3-n^2}{2}-\frac{(n-2)(n-1)}{2}} \rceil\)，则能保证 \(s\) 满足条件。

需要特判 \(n=2,4, 8\)（因为 \(d=f(n)\) 在这几个点 gg 了）。剩余凑 \(s\) 直接从大到小放即可。link

2164 Div. 1+2

E

首先，如果是有欧拉回路，那么代价就是 \(\sum w_i\)。

如果不是，最优的做法（传送）一定是给若干对奇度数点连边，全变为偶度数点之后走欧拉回路

为什么是奇度数点之间连呢？考虑 Kruskal 重构树，从 \(1-m\) 顺序合并每条边，

重构时建立新点 \(x=e_{i}\)（注意区分原来的点），不管分不分为两个集合都要新点连向原点，那么求 \(x\) 传送到 \(z\) 的代价就是 \(w_{\operatorname{LCA}(x, y)}\)

但其实实际上还可以往上走几步再走回来，所以要根往下做 min

那么就是树上有若干点需要匹配，注意做了 min 之后代价会一直变小，即深度深结算一定不劣，于是 dfs 统计一下做完了