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首先将答案变为 \(2\sum_{i=1}^{B}\lfloor\frac{n}{i}\rfloor-B^2\)，其中 \(B=\lfloor\sqrt{n}\rfloor\)。

不需要很繁杂的推导，考虑 \(xy=n\) 与 \(y\le B\) 的交集部分，与 \(x\le B\) 的部分对称，减去交集 \(B^2\) 就行。

那么我们只需要计算 \(xy=n\) 与 \(y\le B\) 的交集部分。

考虑差集部分内的整点，取其下部的凸包，点数证明详细见这里的 4.6。

考虑凸包上任意相邻点 \(A(x, y), B(x+u, y-v)\)，注意 \(AB\) 可以不是凸包顶点（凸包边可能经过整点），满足 \(u, v\) 互质

计算线段左侧整点，设 \(C(x, y-v)\)，\(AC\) 左侧矩形单独算，贡献 \(xv\)。

考虑直角三角形 \(ABC\) 内部整点，其中

\(i=S-\frac{b}{2}+1=(\frac{2S+2-b}{x})\)

左边的点在 \(xv\) 中算过了，有 \(v\) 个

\(y=v-\frac{v}{u}x\) 上的整点数量是 \(\gcd(u, v)-1\)

\(2S=uv, b=(u+1)+(v+1)-1+(\gcd(u, v)-1)=u+v+1\)

\(ans=xv+i+u-1=xv+\frac{uv+2-(u+v+1)}{2}+u-1=xv+\frac{(u-1)(v+1)}{2}\)

另加 \(u-1\) 的原因是三角形横边非端点的点没算 。

接下来，拟合外部凸包，从 \((\lfloor\frac{n}{B} \rfloor, B+1)\) （即左上顶点往左上走一步）开始，发现线段斜率在 \([-1, 0)\) 之间，考虑 SBT 二分斜率（此时的“斜率”变为正数），每次二分到一个斜率就暴力跳，一直跳到下一次跳会跳进曲线，此时 SBT 二分下一次跳的斜率，设 \(mid\) 为中间分数，此处假设 \(l>r\)，\(l\) 为最后一个跳不进去的斜率。

如果 \(mid\) 能不跳进去那么让 \(r=mid\)（我们希望找到绝对值最大的斜率），否则让 \(l=mid\)，但这样我们会无穷无尽二分下去。停止条件是若 \(mid\) 跳进去了，且 \(r>f'(x+mid)\)（即最小的斜率比最大斜率平移图像后的切线还大，说明 \((mid, r)\) 中间的全都会跳进去）。

复杂度 \(O(\sqrt[3]{n}\log n)\)，注意最后一段 \(O(n^{\frac{1}{3}})\) 需要暴力防止复杂度退化。

圆内整点

懒得搬