淑芬&告贷
9.24 淑芬 1
数及数域和数列
Dedekind分割
Cauthy 数列
有理数
分数总能写为循环小数
设有理分数 \(\frac{p}{q}=A+B+x\)，其中 \(A\in \mathbb{Z}, 0\le B<1, A, B\in Q, x\in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\)，且 \(x\) 为循环小数，设 \(y\) 为其循环节。
。
上/下确界
定义.上确界
对于集合 \(A\)，若 \(\forall x\in A, x\le s\)，且 \(\forall \epsilon > 0, \exist x_0 \in A, x>s-\epsilon\)，则称 \(s\) 为 \(A\) 的上确界。
定理.唯一性
若 \(A\) 存在两个不同的上确界 \(s_1, s_2\)，不妨设 \(s_1<s_2\)，则由定义，\(\forall \epsilon >0, \exist x_1, x_2 \in A, x_1>s_1-\epsilon, x_2>s_2-\epsilon\)。
又 \(s_2>s_1\ge(x_1,x_2)\)，取 \(\epsilon=s_2-s_1\)，则 \(x_2>s_2-\epsilon=x_1\)，矛盾。
数列极限
定义.数列极限
对于数列 \(\{a_n\}\)，若有 \(a\in \mathbb{R}\)，\(\forall \epsilon >0, \exist N \in \mathbb{N}_{+}, \text{s.t.}\ \ \forall n > N, |a_{n}-a|<\epsilon\)，则称 \(a\) 为数列 \(\{a_n\}\) 的极限。
闭区间套与 Weierstrass 定理
闭区间套
称一系列闭区间 \(\{[a_n, b_n]\}\)，若：
\([a_1, b_1]\supseteq [a_2, b_2]\supseteq \dots [a_n, b_n]\supseteq \dots\)
且
\[\lim_{n\to \infty} (b_n-a_n)=0 \]
则称该系列闭区间为一个闭区间套。
闭区间套定理
一个闭区间套的所有区间有唯一公共点
Weierstrass 定理
若数列 \(\{x_n\}\) 有界，则其一定有一个收敛子列。
证明：设 \(x_{n} \in [a, b]\)，取半区间 \([a, \frac{a+b}{2}], [\frac{a+b}{2}, B]\)，设 \(\{x_n\}\) 落于两个区间的子列 \(\{y_n\}, \{z_n\}\)，\(y, z\) 中至少有一个是无穷数列，取之作为新的 \(x\)。
设每个 \([a, b]\) 为 \([a_n, b_n]\)，则 \(b_{n}-a{n}=\frac{b_{1}-a{1}}{2^{n-1}}\)，容易得到 \(\lim_{n\to \infty} (b_n-a_n)=0\)，满足闭区间套定义。
按顺序在闭区间 \([a_n, b_n]\) 不重地选取一个数，得到一个子列 \(\{w_{n}\}\)，由 \(a_{n}\le w_{n}\le y_{n}\)，由 \(\{a_n\}\) 和 \(\{b_n\}\) 的夹逼得到 \(\{w_n\}\) 收敛。
Cauthy 收敛
设 \(\{a_n\}\) 为一实数列，若：
则称 \(\{a_n\}\) 为 Cauthy 数列。
定理 2.10 Cauthy 收敛原理
\(\{a_n\}\) 收敛 \(\Leftrightarrow\) \(\{a_n\}\) 为 Cauthy 数列。
证明不难。
习题
1.证明 \(a_{n}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n}\) 发散。
9.25 高代 1
线性方程 向量空间
行列式 矩阵理论
二次型
Gauss 消元
初步做法是逐步消成上三角矩阵（\(\forall 1\le j<i\le n, a_{i, j}=0\)），然后从下往上解。
正常这么做能解决唯一解存在的情况。
考虑解不存在或无穷多的情况，我们会在第 \(i\) 次操作增广矩阵时遇到某一列系数全为 0 的情况（此时体现为 \(a_{x, i}=0\)），那么直接跳过消元的步骤，直接做下一次。
消元时我们考虑把所有行都消（即消元成对角矩阵）。
最后 check 时，如果中间有跳过说明并非唯一解的情况，直接看系数是否为 0
浮点实现
#include <bits/stdc++.h>
#define vi vector<int>
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define st first
#define nd second
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair <int, int> Pii;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int cp=998244353;
inline int mod(int x){return x+(x<0?cp:0)-(x>=cp?cp:0);}
inline void plust(int &x, int y){x=mod(x+y);return ;}
inline void minut(int &x, int y){x=mod(x-y);return ;}
inline int read(){
char ch=getchar();int x=0, f=1;
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
inline void write(int x){
if(x<0) putchar('-'), x=-x;
if(x>9) write(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
inline int ksm(int a, int b=cp-2){
int ret=1;
for(; b; b>>=1, a=1ll*a*a%cp)
if(b&1) ret=1ll*ret*a%cp;
return ret;
}
const int N=105;
const double eps=1e-8;
int n;
double a[N][N], ans[N];
void debug(){
puts("-----");
for(int i=1; i<=n; ++i, puts(""))
for(int j=1; j<=n+1; ++j)
printf("%.6lf ", a[i][j]);
}
int Gauss(){
int cnt=0;
for(int i=1; i<=n; ++i){
int p=++cnt;
for(int x=p; x<=n; ++x)
if(fabs(a[x][i])>fabs(a[p][i])) p=x;
for(int y=1; y<=n+1; ++y) swap(a[p][y], a[cnt][y]);
if(fabs(a[cnt][i])<eps){
--cnt;continue;
} double r=a[cnt][i];
for(int y=i; y<=n+1; ++y) a[cnt][y]/=r;
// debug();
for(int j=1; j<=n; ++j){
if(j==cnt) continue;
r=a[j][i];a[j][i]=0;
for(int k=1; k<=n+1; ++k)
if(k^i) a[j][k]-=a[cnt][k]*r;
}
// debug();
}
if(cnt<n){
for(int i=cnt+1; i<=n; ++i)
if(fabs(a[i][n+1])>eps) return -1;
return 0;
}
for(int i=1; i<=n; ++i) ans[i]=a[i][n+1];
// ans[n+1]=-1.0;
// for(int i=n; i>=1; --i)
// for(int j=i+1; j<=n+1; ++j)
// ans[i]-=ans[j]*a[i][j];
return 1;
}
signed main(){
n=read();
for(int i=1; i<=n; ++i)
for(int j=1; j<=n+1; ++j)
a[i][j]=read();
int tp=Gauss();
if(tp<=0) printf("%d\n", tp);
else if(tp>0) for(int i=1; i<=n; ++i)
printf("x%d=%.2lf\n", i, ans[i]);
return 0;
}
10.23 高代 4
基础法则：
- 交换行或列，\(|A|\) 取反（注意到本质是在每个排列中都交换某一对数）
- 某行/列乘上非零数 \(k\)，\(|A|\) 乘 \(k\)
- 若对于某行 \(a_{m, j}=k\times a_{o, j}\)，\(|A|=0\)（对列同理）
- 若对于某行 \(a_{m, j}=b_{m, j}+c_{m, j}\)，\(\forall i\ne m, a_{i, j}=b_{i, j}=c_{i, j}\)，则 \(|A|=|B|+|C|\)（对列同理）
- 由 3&4 得某一行乘一常数加到另一行时，\(|A|\) 不变
类 Gauss 消元操作即可，注意若有取模，考虑辗转相除。
任意取模实现
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define vi vector<int>
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define st first
#define nd second
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair <int, int> Pii;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int cp=998244353;
inline int mod(int x){return x+(x<0?cp:0)-(x>=cp?cp:0);}
inline void plust(int &x, int y){x=mod(x+y);return ;}
inline void minut(int &x, int y){x=mod(x-y);return ;}
inline int read(){
char ch=getchar();int x=0, f=1;
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
inline void write(int x){
if(x<0) putchar('-'), x=-x;
if(x>9) write(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
inline int ksm(int a, int b=cp-2){
int ret=1;
for(; b; b>>=1, a=1ll*a*a%cp)
if(b&1) ret=1ll*ret*a%cp;
return ret;
}
const int N=605;
int n;
int a[N][N];
int det(){
bool flg=0;
for(int i=1; i<=n; ++i)
for(int j=i+1; j<=n; ++j){
while(a[i][i]){
int x=a[j][i]/a[i][i];
for(int k=i; k<=n; ++k)
a[j][k]=(a[j][k]-1ull*x*a[i][k]%cp+cp)%cp;
swap(a[i], a[j]);
flg^=1;
}
swap(a[i], a[j]);
flg^=1;
}
int ans=1;
for(int i=1; i<=n; ++i) ans=1ull*ans*a[i][i]%cp;
return (flg)?((cp-ans)%cp):ans;;
}
signed main(){
n=read(), cp=read();
for(int i=1; i<=n; ++i)
for(int j=1; j<=n; ++j)
a[i][j]=read();
printf("%lld\n", det());
return 0;
}
对于行列式 \(\{a_{i, j}\}\)，记 \(M_{i, j}\) 为其去掉第 \(i\) 行、第 \(j\)列的 \((n-1)\times (n-1)\) 行列式，称为 \(a_{i, j}\) 对应的余子式，称 \(A_{i, j}=(-1)^{i+j} M_{i, j}\) 为代数余子式。
有定理：
以及
范德蒙德行列式
满足 \(a_{1, i}=1, a_{2, i}=x_{i}, a_{j, i}=x_{i}^{j-1}\) 的行列式 \(D\) 称为范德蒙德行列式。
则有 \(\det(D)=\prod_{i<j} (x_j-x_i)\)。
行列式与线性方程组
若线性方程组的系数行列式值不等于 0，则方程组有唯一解（等价于在 Gauss 消元后最后消成对焦矩阵）。
克莱姆法则
若方程组有唯一解，则解为 \(x_{i}=\frac{|B_{i}|}{|A|}\)，其中 \(A\) 是系数行列式，\(B\) 是 \(A\) 中第 \(i\) 列替换为常数向量得到的行列式。
11.6 高代 6
向量（组）
为简单表示列向量，以转置标记 \(^{T}\) 来标记。
记 \(\varepsilon_{i}=(0, 0, \dots 1, 0, \dots 0, 0)\)，即第 \(i\) 维方向上的单位向量
线性相关和线性无关部分跳过
秩与维
称一组向量的秩为其极大线性无关向量组的大小
定义向量空间 \(U\) 的基为其某个子集 \(\{a_1, a_2, \dots, a_n\}\)，满足
1.\(a_1, a_2, \dots, a_n\) 线性无关
1.\(\forall \beta\in U, \exists\{k_{n} |k_i\in R\}, \sum_{i=1}^{n} k_ia_i=\beta\)，即 \(U\) 中的任意向量能被 \(a_1, a_2, \dots, a_n\) 线性表出。
特别的，在 \(K^{n}\) 中，单位向量集合 \(\{\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_n\}\) 为 \(K^{n}\) 的一个基，称为 \(K_{n}\) 的标准基。
定义上述基中 \(n\) 为 \(U\) 的维数（对于 \(U\) 的多个基，它们均线性无关且都可以互相线性表出，所以等价，故这些基的大小都相等），记作 \(\dim_{k} U\)，\(k\) 可省略简记。
矩阵的秩
行秩和列秩
设矩阵 \(a_{s\times n}\)。
记 \(b_{i}=(a_{i, 1}, a_{i, 2}, \dots, a_{i, n})\)，则 \(\operatorname{rank}<a_1, a_2\dots a_s>\) 为 \(a\) 的行秩，同理定义列秩。
上阶梯矩阵
所有矩阵
容易发现初等变换不影响行/列秩，最终总能变为上阶梯矩阵，所以可以定义矩阵的秩为其行/列秩。
方阵的秩与行列式、满秩矩阵
设 \(n\) 级矩阵（方阵） \(A\)，则：
若满足上式，则称 \(A\) 为满秩矩阵。
线性方程组有解的充分必要条件
能够推出，对于齐次线性方程组，其有非零解的充分必要条件是：系数矩阵的秩小于未知量的数目。
对于线性方程组，其有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于未知量的数目。
齐次方程组解集空间
解集空间由一个线性无关组 \(\{\eta_i\}\) 给出，其中 \(\sum \eta_i\) 为一个特解，
有定理：
将系数矩阵 \(A\) 转化为如下矩阵
其中 \(r=\operatorname{rank}(A)\)
则有
线性方程组解集空间
设 \(\gamma\) 为原增广矩阵经过上述系数矩阵初等变化后最右侧的列向量，则
其中 \(W_{0}\) 是将系数矩阵当齐次线性方程组解得的解集空间。
11.12 淑芬
凹凸性
定义是 \(y=f(x)\) 图像上任意两点连线段在图像上方，则 \(f\) 为凹函数
判定凹函数：
\(f^{''}(x)>0\) 的函数 \(f\) 为凹函数，\(f^{''}(x)<0\) 的函数 \(f\) 为凸函数。向下为凹，向上为凸，符合直观。
11.27 告贷
逆矩阵
能够证明，若 \(|A|\ne 0\) 则
注意转置
否则 \(A\) 不存在逆矩阵
逆，转置 乘法矩阵
正交矩阵
称一系列向量（同为行向量或列向量）\(\alpha_{i}\)，满足 \(|\alpha_i|=1, \alpha_i \cdot \alpha_j=0(i\ne j)\)，组成的矩阵为正交矩阵。
显然 \(\{\alpha_i\}\) 线性无关
则定义等价于 \(A\times A^T =I\)
Kronecker 记号
\(\delta_{ij}=[i=j]\)，则上述条件可简化为 \(\alpha_i \cdot \alpha_j=\delta_{i, j}\)
正交向量组
记 \((\alpha, \beta)\) 为向量点积。
由上式所得 \(\{\beta_{i}\}\) 是正交向量组，且与 \(\{\alpha_{i}\}\) 等价
将 \(\{\beta_{i}\}\) 单位化后得到正交单位向量组 \(\{\eta_{i}\}\)
12.03 淑芬
积分技巧
分部积分
一些经典结论
例题 1
s
求
由
令 \(u=1-\frac{1}{x}, \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=1+\frac{1}{x^2}\)
以及
得出
12.04 告贷
映射、映射的核
若有矩阵 \(|A|=n\times m\)，函数 \(f(\alpha )=A\alpha, |\alpha|=m\times o\)，则称其象(Imaginary part) \(\mathrm{Im} f\) 为 \(f\) 的值域。
特别的，当 \(\alpha\in K^m\)，有如下定义与定理
称 \(\{\alpha | f(\alpha)=0\}\)，为映射 \(f\) 的核，记作 \(\mathrm{Ker} f\)
\[\dim \mathrm{Im} f=\operatorname{rank} A \]
证明：此时即 \(A\alpha=f(\alpha)\) 有解，又 \(\alpha\in K^m\)，则任意 \(f(\alpha)\) 可由 \(A\) 的列向量线性表出，同时 \(\forall t\notin \mathrm{Im} f\)，\(t\) 不能被 \(A\) 的列向量线性表出，故 \(\mathrm{Im} f\) 与 \(A\) 的列空间等价。
求 \(\mathrm{Im} f\) 的一个基底，等价于求 \(A\) 的列空间的一个基底
\[\dim \mathrm{Ker} f=n-\operatorname{rank} A \]
证明：等价于 \(AX=0\) 的解空间
系友关系
对于笛卡尔积 \(W=\{(x, y)|x\in S, y\in M\}\)，称 \((x, y)\in W\)，\(x, y\) 是系友，或称 \(x\) 与 \(y\) 有 \(W\) 关系，简记为 \(xWy\) 或 \(x\sim y\)。
等价关系，等价类
若上述关系满足反身性、对称性、传递性，则称关系 \(\sim\) 是一个等价关系。
称
为 \(a\) 的等价类
矩阵的相抵
对于矩阵 \(A\)，称 \(A\) 与 \(B\) 有相抵关系，当 \(A\) 通过初等变换可得 \(B\) 成立。
显然相抵关系是等价关系，由此亦得相抵类。
标准相抵形
若矩阵满足 \(\operatorname{rank} A>0\)，则 \(A\) 与下述形式的矩阵相抵：
上述矩阵容易由简化行上阶梯矩阵变换得出
误区
简化行上阶梯矩阵做列变换时，其代表的齐次线性方程组的元的定义发生变化！
广义逆矩阵
当 \(A\) 可逆时，线性方程组 \(AX=\beta\) 能由 \(X=A^{-1}\beta\) 快速得出
当 \(\det(A)=0\) 时，当 \(\beta\ne 0\) 时方程有解，我们希望得到 \(A^{-1}\) 的替代物
模拟一下逆元过程，设 \(T=A^{-1}\)
即我们希望找到 \(T\) 满足 \(\beta=AT\beta\)。
看起来这句话是废话，我们考虑 \(\beta=A\) 时，由 \(A\) 的标准相抵形表达
其中 \(P, Q\) 是若干初等变换矩阵的乘积，显然 \(P, Q\) 仍然可逆
则方程 \(A=ATA\) 的解 \(T\) 可由
表示，其中 \(B, C, D\) 为任取矩阵。
证明：
三个矩阵的乘积：
详细计算步骤：
先算前两个：
再右乘第三个：
所以最终：
则上述 \(T\) 为 \(A\) 的广义逆矩阵，记作 \(A^{-}\)。
彭罗斯方程组
矩阵的相似
受广义逆的启发，若存在可逆矩阵 \(P\) 满足 \(P^{-1}AP=B\)，则称 \(A\) 与 \(B\) 相似，记作 \(A\sim B\)。
相似矩阵的共同可逆性
显然相似矩阵的行列式相等，于是有共同的可逆性。
同时，若 \(A, B\) 可逆，\(A\sim B\)，则
\(B^{-1}=P^{-1}A^{-1}P\)，即 \(A^{-1}\sim B^{-1}\)
容易得到 \(A, B\) 相抵
矩阵的迹
矩阵对角线的和为矩阵的迹，记作 \(\mathrm{tr}(A)\)
特征值、特征向量、特征多项式、特征矩阵
若 \(\alpha^{T}\in K^{n}, \alpha \ne 0, \lambda_{0}\in K\) 满足
则称 \(\lambda_{0}\) 为 \(A\) 的一个特征值，\(\alpha\) 为 \(A\) 的一个特征向量。
特征值由方程 \(\det(\lambda I-A)=0\) 的解给出。
证明 \(A\alpha=\lambda_{0}\alpha\)
\(\Rightarrow (\lambda I-A)\alpha=0\)
\(\Rightarrow \alpha\) 为 \((\lambda I-A)X=0\) 的一个非零解
\(\Rightarrow \det(\lambda I-A)=0\)
同时称 \(\det(\lambda I-A)\) 为 \(A\) 的特征多项式，称 \(\lambda I-A\) 为 \(A\) 的特征矩阵。
由上亦导出 \(\alpha\)：\((\lambda I-A)X=0\) 的一个非零解，等价于系数矩阵为 \((\lambda I-A)\) 的齐次线性方程组的解
相似矩阵的特征多项式与特征值
若 \(A\sim B, P^{-1}AP=B\)，由 \(B\) 的特征多项式
又有 \(\det(P^{-1})=\frac{1}{\det(P)}\)
得 \(\det(\lambda I-B)=det(\lambda I-A)\)
即 \(A, B\) 特征多项式相等，特征值全等
矩阵的幂次、对角矩阵、标准相似形
欲求 \(A^{m}\)，若 \(A\sim D\)，其中 \(D\) 是对角矩阵（主对角线外元素均为 0），则若 \(A=P^{-1}DP\)，则
称 \(A\) 是可对角化的。
由上述特征值，我们考虑构建 \(n\) 个线性无关向量组 \(\{\alpha_i\}\)，满足 \(A\alpha_i=\lambda_{i} \alpha_i\)，则
令 \(P=(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)\)
同时，称对角矩阵 \(\mathrm{diag}\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{n}\}\) 为 \(A\) 的标准相似形。
证明：
计算 \(AP\)：
令对角矩阵：
那么：
所以：
因为 \(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\) 线性无关，所以 \(P\) 可逆。在 \(AP = P\Lambda\) 两边左乘 \(P^{-1}\)：
即：
可对角化
当代数重数（\(|\lambda I-A|=0\)，对于某个根 \(\lambda_i\) 的重数），与几何重数（\((\lambda_i I-A)X=0\) 的解空间维数）相等时，矩阵 \(A\) 可对角化。
正交相似与正交对角化、实对称矩阵
实对称矩阵的特征值性质
实对称矩阵 \(A\) 的特征多项式一根 \(\lambda_0\) 和其特征向量 \(\alpha\)，有
取复数共轭，得
\(A\) 是实矩阵，故 \(\bar{A}=A\)，于是
左乘 \(\alpha^T\) 得
同时，对（1）式两边转置后右乘 \(\bar{\alpha}\)，得
对比得 \(\lambda_0=\bar{\lambda_0}\)，即 \(\lambda_0\) 是实数。
实对称矩阵的特征向量性质
由实对称矩阵 \(A\) 特征值 \(\lambda_1, \lambda_2\) 以及对应特征向量 \(\alpha_1, \alpha_2\)，
又 \(A\) 是实对称矩阵，则 \(\lambda_1(\alpha_1, \alpha_2)=\lambda_2(\alpha_1, \alpha_2)\to (\alpha_1, \alpha_2)=0\)，\(\alpha_1, \alpha_2\) 正交
实对称矩矩阵一定正交相似于对角矩阵
正交相似即 \(\exist P\) 满足 \(PP^{-1}=P^{-1}P=I\)，使得 \(P^{-1}AP=\operatorname{diag}(a_1, a_2, \dots a_n)\)。
12.11 告贷
二次型、二次型矩阵
称一个二次齐次多项式 \(f(x_1, x_2,\dots x_n)=\sum_{i, j} a_{i\le j} x_i\times x_j\) 为一个二次型。
设 \(b_{i, j}=\begin{array}{} \left\{\begin{matrix} \frac{a_{\min (i, j), \max (i, j)}}{2} ,i\ne j\\ a_{i, j}, i=j \end{matrix}\right. \end{array}\)
称 \(A=\{b_{i, j}\}\) 为二次型 \(f\) 的矩阵，不难见 \(A\) 是对称矩阵
容易得出 \(f(x_1, x_2,\dots x_n)=X^{T}AX\)。
非退化线性替换、等价
考虑 \(Y=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}\)， 若存在 \(n\) 级可逆矩阵 \(C\) 满足 \(X=CY\)，则称上述等式为 \(\{x_i\}\) 到 \(\{y_{i}\}\) 的一个非退化线性替换。
容易推得：
记 \(B=(C^{T}AC)\)，\(B^T=C^{T}A^{T}C\)，由 \(A\) 是对称矩阵得到 \(A=B\)。
所以有二次型 \(g(\{y_i\})=Y^TBY\)，其矩阵为 \(B\)。
称上述两个二次型 \(f, g\) 等价，记作 \(X^TAX\cong Y^TAY\)
合同
两个 \(n\) 级矩阵 \(A, B\)，若存在 \(n\) 级可逆矩阵 \(C\)，使得
则称 \(A,B\) 合同，记作 \(A\simeq B\)
合同与等价
\(X^TAX\cong Y^TAY\)，当且仅当 \(A\) 与 \(B\) 合同
证明，由先前推得 \(Y^{T} (C^{T}AC) Y=Y^TBY\)，即 \(C^{T}AC=B\)。
标准二次型
若二次型 \(f\) 满足 \(a_{i, j}\ne 0 \Leftrightarrow i=j\)，则 \(f\) 为标准二次型。
二次型替换到标准二次型
相当于找二次型 \(f\) 的矩阵 \(A\) 的一个合同矩阵 \(B\)，满足 \(B\) 为对角矩阵。
注意到 \(A\) 为实对称矩阵，实对称矩阵必定可对角化，也即所有二次型必能转成标准二次型。
能够从前面结论快速得出 \(A\) 合同于 \(\operatorname{diag}\{\lambda_1, \lambda_2, \dots \lambda_n\}\)，其中 \(\lambda_i\) 为 \(A\) 的特征值。
12.07 淑芬
线性齐次微分方程
记 \(x_1, x_2, \dots x_n\) 为线性齐次微分方程
的 \(n\) 个特解。
则其在 \(I\) 上线性无关的充要条件为，存在值 \(t_0\)，使得
称 \(w(t_0)\) 为解组 \(x_1, x_2, \dots x_n\) 在 \(t=t_0\) 处的 Wronski 行列式
常系数二阶线性齐次微分方程
由其特征方程
1.若其有二非重实数解 \(\lambda_1, \lambda_2\)，则通解形式为
2.若其有重实数解 \(\lambda_1=\lambda_2=-\frac{a_1}{2}\)
我们需寻求第二个特解，设 \(x_1=e^{\lambda_1 t}\)，\(x_2=h(t)x_1\)
代入 \(x_2\) 于原微分方程
同时有：
联立得
由上 \(\lambda_1=\lambda_2=-\frac{a_1}{2}\)，得 \(h^{(2)}=0\)，故
合并得
3.其无实数根，有共轭复根 \(\lambda_1=\alpha+i\beta, \lambda_2=\alpha-i\beta\)
由欧拉定理
则由解的叠合性
仍为线性无关的特解，于是得
12.18 告贷
二次型的标准型、秩，正负惯性指数、符号差
二次型 \(f(\{x_i\})\) 可经过非退化线性替换得到 \(g(\{y_r\})\)，使得
称 \(g\) 为 \(f\) 的规范形，\(r\) 是 \(f\) 的秩
称 \(p\) 为 \(f\) 的正惯性指数，\(r-p\) 为 \(f\) 的负惯性指数，\(p-(r-p)\) 为 \(f\) 的符号差。
导出定理
合同类
即不同合同规范形的数量\(=\sum_{i=0}^{n}(n-i+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\)
（半）正定矩阵
对于实对称矩阵 \(A\) 若 \(\forall \alpha\in K^n, \alpha^T A \alpha >0\)，则称 \(A\) 是正定的。
同理定义半正定、负定矩阵、负半定矩阵（\(\ge, <, \le 0\)）
正定矩阵的判定
显然非退化线性替换不影响正定性
特征根判定
实对称矩阵 \(A\) 必然可对角化为 \(\operatorname{diag}\{\lambda_1, \lambda_2, \dots \lambda_n\}\)，则充要条件为 \(\forall \lambda_i >0\)
12.22
高阶常系数线性齐次微分方程
由二阶常系数线性齐次微分方程的解我们能导出：
其特征方程：
有 \(n\) 个复根 \(\lambda_1, \lambda_2, \dots \lambda_n\)
| 特征根 | 通解对应项 |
|---|---|
| 单实根 \(\lambda\) | \(Ce^{\lambda t}\) |
| \(k\) 重实根 | \(e^{\lambda t}\sigma_{k-1}(t)\) |
| 一对共轭单复根 $\lambda_{1, 2}=\alpha \pm i\beta $ | \(e^{\alpha t}(C_1\cos \beta t+C_2 \sin \beta t)\) |
| 一对 \(k\) 重共轭复根 $\lambda_{1, 2}=\alpha \pm i\beta $ | \(e^{\alpha t}(\varphi_{k-1}(t)\cos \beta t+\mu_{k-1}(t) \sin \beta t)\) |
其中 \(\sigma_i, \varphi_i, \mu_i\) 是关于 \(t\) 的 \(i\) 次多项式
高阶常系数线性非齐次微分方程
类似线性方程组，我们希望得到高阶常系数线性非齐次微分方程
的一组特解。
当 \(F(t)\) 为特殊形式时，可以使用待定系数法确定特解 \(x^{*}\)。
| \(F(t)\) 的类型 | 特征值情况 | 应待定 \(x^{*}\) 形式 |
|---|---|---|
| \(\varphi(t)\) | \(0\) 不是特征值 | \(Z(t)\) |
| \(\varphi(t)\) | \(0\) 是 \(k\) 重特征值 | \(t^kZ(t)\) |
| \(\varphi(t)e^{\mu t}\) | \(\mu\) 不是特征值 | \(Z(t)e^{\mu t}\) |
| \(\varphi(t)e^{\mu t}\) | \(\mu\) 是 \(k\) 重特征值 | \(t^kZ(t)e^{\mu t}\) |
| \(\varphi(t)e^{\mu t}(\cos vt/\sin vt)\) | \(\mu+i\nu\) 不是特征值 | \(e^{\mu t}[Z_1(t)\cos \nu t+Z_2(t)\sin \nu t]\) |
| \(\varphi(t)e^{\mu t}(\cos vt/\sin vt)\) | \(\mu+i\nu\) 是 \(k\) 重特征值 | \(t^ke^{\mu t}[Z_1(t)\cos \nu t+Z_2(t)\sin \nu t]\) |
其中 \(Z(t)\) 与 \(\varphi(t)\) 为同次多项式，\(Z\) 所有系数待定。
浙公网安备 33010602011771号