[算法] Dsu on tree 与 线段树合并

学习笔记

Dsu on tree 树上启发式合并，一种运用于解决静态树上（每一颗子树）统计问题的思想，既然都叫启发式合并了，想到冰茶几的按序合并，将小的放到大的里面去，大的。。。小的。。。最大的。。。这不重链剖分嘛！

思考暴力怎么搞，不难想到一个很朴素的做法：递归全部儿子后，直接再次遍历整颗树，这样时间复杂度是 \(O(n^2 k)\)，空间为 \(O(S)\)。(\(k\) 是修改单个值的复杂度)

它肯定是可以优化的（不然讲它干嘛），首先，我们珂以直接不选择走两次最后一颗子树，直接再最后一颗子树已经统计完的情况下递归整棵树，这最后一个儿子选什么呢？没错，就是根的 重儿子。

思考这样做的复杂度为什么不是 \(O(n^2)\)：

对于每一个结点 \(x\)，它要么是在前面递归儿子被走到，这样是 \(O(k)\) 的，每个点只会走到一次，因此复杂度 \(O(nk)\)。

但它还有可能在祖先 \(f\) 暴力搜整颗树的时候被访问，\(f\) 什么时候需要访问到它所在的子树？，显然是它到 \(f\) 路径上离 \(f\) 最近的那个点（记为 \(f^{+1}\)）不是 \(f\) 的重儿子，此时边 \((f, f^{+1})\) 是一条轻边，所以它在暴力搜的时候会被搜到 \(O(\text{到 1 路径上有多少条轻边})\) 次，由于轻边传下去整颗子树的大小最少减半，所以轻边数量不超过 \(\log_2 n\)，那么对于一个点复杂度就是 \(O(k \log n)\)，总体复杂度 \(O(n k \log n)\)。

我qiao，这也太神奇了

亮出 模板题，这题直接开个桶统计，\(k=1\)，总复杂度 \(O(n \log n)\)

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