[字符串] EXKMP + Manacher

Manacher 学习笔记：

我们想要得到 \(\forall i<|S|\)，以 \(i\) 为回文中心的最长回文子串的半径 \(p_i\)。

为了不进行复杂的分类讨论，我们在每个字符左右都放上一个 #，这样使得串长必然为奇数，为了避免边界问题，在串头再放一个 ~。

类似于 KMP，我们希望通过之前得到的 \(p_{1 \dots i-1}\) 来转移 \(p_i\)，这里有个玄学的操作，记已经找到的最靠右的回文子串的右端点 \(R\) 和对应的对称中心 \(mid\)，对于我们当前的 \(i\)，分类讨论：

（这里借用了 Lstdo 大佬的图片，侵删）

当 \(i\) 的拓展还在 \([mid, R]\) 内，此时必然存在一个 \(j\) 使得 \([j-p_j+1, j+p_j-1]=[i-p_i+1, i+p_i-1]\)，直接根据中点公式得到 \(j\) 的坐标即可。

但还有可能是这样的。。。

此时并不能判断多出去的是否同样回文，没关系，我会暴力，先对 \((R-i \text{(最大的半径)}, p_j)\) 取 \(\min\)，然后暴力在 \(p_i\) 的基础上拓展，同时更新 \(R, mid\)，由于本身是塞了多出来几个，所以 \(p_i\) 就是匹配半径长度。不需要除 2，如果 \(i\) 为 # 那么就是以 \(i-1, i\) 为中心，长度为 \(p_i\) 的偶回文串，否则是以 \(i\) 为中心，长度为 \(p_i\) 的奇回文串。

复杂度：

根据字符串算法均可线性定理所以它是 O(n)，由于 \(R\) 只会不断往右移，当我们基础的 \(p_i+i = R'\) 时才会产生移动，而 \(R\) 移到 \(n\) 就不动了，也就是说，我们“暴力”只会拓展 \(n\) 格，所以复杂度自然而然就是 \(O(n)\) 了。

Code:

	scanf("%s", s+1);n=strlen(s+1);
	nw[0]='~', nw[1]='#';
	for(int i=1; i<=n; i++)
		nw[i<<1]=s[i], nw[i<<1|1]='#';
	for(int i=1; i<=n*2+1; i++){
		if(i<R) p[i]=min(p[mid*2-i], R-i);
		while(nw[i-p[i]-1]==nw[i+p[i]+1]) p[i]++;
		if(i+p[i]>R) R=i+p[i], mid=i;
		ans=max(ans, p[i]);
	}

EXKMP

求数组 \(z_i=|\operatorname{LCP}(s_{[1, n]}, s_{i, n})|\)

同样跟 Manacher 与 KMP 一致，假设我们正在处理 \(z_x\)，我们希望通过 \(z_{[1, x)}\) 来得到快速转移。

考虑 \(z\) 数组的本质：\(s_{[1, z_i]}=s_{[i, i+z_i-1]}\)，考虑记当前所能匹配最靠长的后缀起点和末尾分别为 \(l, r\)，若 \(x \le r\)，则 \(i \in [l, r]\) 且 \(s_{[1, r-l+1]}=s_{[l, r]}\)，当前的 \(z_x\) 最多能是 \(r-x+1\)（其实是有可能超过的，因为我们假定了 \(r\) 是最大值，这样初始化对后面的复杂度分析有很大帮助）（珂以看下面的图，侵删）

进一步分析，考虑 \(s_{[1, z_{x-l+1}]}\) 这一段与 \(s_{[x-l+1, x-l+1+z_{x-l+1}-1]}\) 这一段相等（这是 \(z\) 的定义！）
，同时上图两个红色部分是一样的，所以这个是从 \(x\) 的后缀珂以匹配到的最长段，那么珂以初始化 \(z_x=\min(r-x+1, z_{x-l+1})\).

接下来，考虑直接暴力匹配，与 Manacher 一样，\(r\) 的上界是 \(n\)，每次暴力起码 +1，故复杂度为 \(O(n)\)。

求数组 \(EK_i=|\operatorname{LCP}(b_{[1, n]}, a_{i, n})|\)

先求出 \(b\) 的 \(z\)，考虑类似于上面的匹配即可，只不过初始化的值应该是 \(z_{z-l+1}\)。

画个图给你们体会一下

如上图，根据定义，\(b_{[1, EK_l]}=a_{l, r}\)，我们仍然考虑 \(b_{[1, i-l+1]}\) 这一段，

同上，蓝色这四段都相等，我们同样珂以初始化为 \(EK_i=\min(z_{i-l+1}, r-i+1)\)，其余暴力。

Code:

	Z[1]=m
	for(int i=2, l=0, r=0; i<=m; i++){
		if(i<=r) Z[i]=min(Z[i-l+1], r-i+1);
		while(i+Z[i]<=m&&b[i+Z[i]]==b[1+Z[i]])
			Z[i]++;
		if(i+Z[i]-1>r) l=i, r=i+Z[i]-1;
	}
	for(int i=1, l=0, r=0; i<=n; i++){
		if(i<=r) EK[i]=min(Z[i-l+1], r-i+1);
		while(i+EK[i]<=n&&a[i+EK[i]]==b[1+EK[i]]) EK[i]++;
		if(i+EK[i]-1>r) l=i, r=i+EK[i]-1;
	}