判断两个线段相交问题(快速排斥实验&跨立实验) (计算几何)

计算几何中,有 判断两个线段是否相交问题. 用到快速排斥实验和 跨立实验

快速排斥实验,是跨立实验的前提和基础.

假设有点 P1(x1,y1) P2(x2,y2)  Q1(x3,y3) Q2(x4,y4)  构成线段 P1P2  Q1Q2 问 P1P2与Q1Q2是否相交

快速排斥实验:  

 P1P2 对角线构成矩形R, Q1Q2对角线构成矩形T  若 R与T 相交着 通过快速排斥, 否则不通过

 矩形相交判断:

§  方法:  假设 P1 = (x1, y1), P2 = (x2, y2), Q1 = (x3, y3),Q2 = (x4, y4)，

 设矩形 R的 x坐标的最小边界为 RX1 = min(x1, x2)，RX2=max(x1,x2) ,RY1=min(y1,y2)

 以此类推，将矩形表示为 R = (RX1, RY1, RX2, RY2)的形式，若两矩形相交，

 则相交的部分构成了一个新的矩形 F，我们可以知道 F 的 FX1 = max(RX1, TX1), FY2 = max(RY1, TY1),

 FX2 = min(RX2,TX2), FY2 = min(RY2, TX2)，得到 F 的各个值之后，

 只要判断矩形 F是否成立就知道 R和 T到底有没有相交了

 若 FX1 > FX2或 FY1 > Fy1则 F无法构成，RT不相交，否则 RT相交

 § 

跨立实验:(互相跨立)

 

若 P1P2 跨立 Q1Q2，则 P1,P2 分别在 Q1Q2 所在直线的两端，

则有 (P1 - Q1)*(Q2 - Q1) * (Q2 - Q1)*(P2 - Q1) > 0，当 (P1 - Q1)*(Q2 - Q1) = 0 时，

说明 (P1 - Q1) 与 (Q2 - Q1) 共线，但由于已经经过快速排斥试验，所以 Q1 必为 P1P2 与 Q1Q2 的交点，

依然满足线段相交的条件，则跨立试验可改为：

 当 (P1 - Q1)*(Q2 - Q1) * (Q2 - Q1)*(P2 - Q1) >= 0，则 P1P2 跨立 Q1Q2，当 Q1Q2 也跨立 P1P2 的时候，则 P1P2 相交

[代码实现]

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef struct Node{
	double x,y;
}point;
typedef struct Segments{
	point line;
}Line;
typedef struct Rectangle{
	point A,B;
}Rec; 
double x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4;
bool judge1(Rec R,Rec T)
{
	Rec F;
	R.A.x=min(x1,x2);R.A.y=min(y1,y2);
	R.B.x=max(x1,x2);R.B.y=max(y1,y2);
	
	T.A.x=min(x3,x4);T.A.y=min(y3,y4);
	T.B.x=max(x3,x4);T.B.y=max(y3,y4);
	
	F.A.x=max(R.A.x,T.A.x); F.A.y=max(R.A.y,T.A.y);
	F.B.x=min(R.B.x,T.B.x); F.B.y=min(R.B.y,T.B.y);
	
	if(F.A.x>=F.B.x || F.A.y>=F.B.y)
		return false;
	return true;
}
bool judge2()
{
	Line P1Q1,P2Q1,Q2Q1,Q2P2,P1P2,Q1P2;
	P1Q1.line={x1-x3,y1-y3};P2Q1.line={x2-x3,y2-y3};Q2Q1.line={x4-x3,y4-y3};
	Q2P2.line={x4-x3,y4-y2};Q1P2.line={x3-x2,y3-y2};P1P2.line={x1-x2,y1-y2};
	// 叉乘  A(x1,y1) X B(x2,y2) = x1y2-x2y1 
	if( (P1Q1.line.x*Q2Q1.line.y-Q2Q1.line.x*P1Q1.line.y)*(Q2Q1.line.x*P2Q1.line.y-P2Q1.line.x*Q2Q1.line.y)>=0 )
	{
		if( (Q1P2.line.x*Q2P2.line.y-Q2P2.line.x*Q1P2.line.y)*(Q2P2.line.x*P1P2.line.y-P1P2.line.x*Q2P2.line.y)>=0 )
			return true;
		else
			return false;
	}
	return false;
}
int main()
{
	Rec R,T;
	cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>x3>>y3>>x4>>y4;
	if(!judge1(R,T))
		cout<<"矩阵R与T矩阵不相交 即 线段P1P2 与线段Q1Q2不相交"<<endl;
	else
	{
		if(judge2)
			cout<<"线段P1P2 与 线段 Q1Q2 相交"<<endl;
		else
			cout<<"不相交"<<endl; 
	} 
	return 0;
}
/*
-2 0
1 2
-1 1
2 -1
*/