Codeforces 879C/878A - Short Program

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本题是一个位运算问题——位运算的等价变换。

假设位运算符“&”“|”“^”是左结合的，且优先级相同，则一个表达式：“x@a[1]@a[2]@...@a[n]”，等价于“(...((x@a[1])@a[2])...)@a[n]”。其中，“@”为位运算符“&”“|”“^”。

将表达式“x@a[1]@a[2]@...@a[n]”表示为一个简单的等价形式：“((x&a)|b)^c”，即“x&a|b^c”。

限制条件：“(x>=0)&&(x<=0x3ff)”。

一位数的位运算：

　　“&”: 0&0=0，0&1=0，1&0=0，1&1=1；

　　“|”: 0|0=0，0|1=1，1|0=1，1|1=1；

　　“^”: 0^0=0，0^1=1，1^0=1，1^1=0。

将表达式看成一个映射：“f:x->((x&a)|b)^c”。

此映射服从运算规律：“f(x)=x@a[1]@a[2]@...@a[n]”。

则可枚举x，比较x和f(x)的每一位，据此推测a、b、c。

实际上，由于位运算中的每一位是独立的，因此只需测试两个值：0x0(0b00,0000,0000)和0x3ff(0b11,1111,1111B)。之后比较0和f(0x0)的每一位，以及1和f(0x3ff)的每一位。

记映射f可以分解为若干个位（bit）映射，位i的映射为f[i]，则：

　　若f[i]:0->0,1->0，则f[i]=“&0,|0,^0”，即a[i]=0,b[i]=0,c[i]=0；

　　若f[i]:0->0,1->1，则f[i]=“&1,|0,^0”，即a[i]=1,b[i]=0,c[i]=0；

　　若f[i]:0->1,1->0，则f[i]=“&1,|0,^1”，即a[i]=1,b[i]=0,c[i]=1；

　　若f[i]:0->1,1->1，则f[i]=“&1,|1,^0”，即a[i]=1,b[i]=1,c[i]=0。

于是，对每一位构造a、b、c的对应位即可。

参考程序如下：

#include <stdio.h>

int main(void)
{
    int n;
    int x = 0, y = 0x3ff;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        getchar();
        char op = getchar();
        int num;
        scanf("%d", &num);
        switch (op) {
        case '&':
            x &= num;
            y &= num;
            break;
        case '|':
            x |= num;
            y |= num;
            break;
        case '^':
            x ^= num;
            y ^= num;
            break;
        default:
            break;
        }
    }
    int num_and = 0, num_or = 0, num_xor = 0;
    for (int i = 0; i < 10; i++) {
        int bit = 1 << i;
        if ((x & bit)) {
            if (y & bit) num_or |= bit;
            else num_xor |= bit;
            num_and |= bit;
        } else {
            if (y & bit) num_and |= bit;
        }
    }
    printf("3\n& %d\n| %d\n^ %d\n", num_and, num_or, num_xor);
    return 0;
}

对于以上位构造法：

　　若f[i]:0->0,1->0，则f[i]=“&0,|0,^0”，即a[i]=0,b[i]=0,c[i]=0；

　　若f[i]:0->0,1->1，则f[i]=“&1,|0,^0”，即a[i]=1,b[i]=0,c[i]=0；

　　若f[i]:0->1,1->0，则f[i]=“&1,|0,^1”，即a[i]=1,b[i]=0,c[i]=1；

　　若f[i]:0->1,1->1，则f[i]=“&1,|1,^0”，即a[i]=1,b[i]=1,c[i]=0。

可以直接构造a、b、c：

　　a=f(0x0)|f(0x3ff)；

　　b=f(0x0)&f(0x3ff)；

　　c=f(0x0)&(0x3ff^f(0x3ff))。

参考程序如下：

#include <stdio.h>

int main(void)
{
    int n;
    int x = 0, y = 0x3ff;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        getchar();
        char op = getchar();
        int num;
        scanf("%d", &num);
        switch (op) {
        case '&':
            x &= num;
            y &= num;
            break;
        case '|':
            x |= num;
            y |= num;
            break;
        case '^':
            x ^= num;
            y ^= num;
            break;
        default:
            break;
        }
    }
    int num_and = x | y,
        num_or = x & y,
        num_xor = x & (0x3ff ^ y);
    printf("3\n& %d\n| %d\n^ %d\n", num_and, num_or, num_xor);
    return 0;
}