判断树上路径是否相交

判断方法： 在一棵树上，对于路径 (x,y) 和路径 (u,v)，判断它们相交，等价于判断是否满足： lca(u,v) 在路径 (x,y) 上，or， lca(x,y) 在路径 (u,v) 上。

引理1： 对于树上路径 (a,b) 的任意一个点 x，路径的深度最小的点，即 lca(a,b)，必然在 x 到这棵树的根的路径上。
引理2： 对于一个点 x 的子树中的任意一个点 y，x 在 y 到树根的路径上。

若路径相交：

1. 设路径 (x,y) 与路径 (u,v) 的一个交点为 K（注意，K 同时在两条路径上，而且在 lca(x,y) 的子树里），如果 K 就是路径 (u,v) 的深度最小的点，那么这就说明 lca(u,v) 在路径 (x,y) 上；
2. 如果 K 不是路径 (u,v) 的深度最小的点，那么路径 (u,v) 的深度最小的点，即 lca(u,v)，一定在 K 到树根的路径上（引理 1），K 到树根的路径上一定有 lca(x,y)（引理2），这就分两种情况：
   a. lca(u,v) 深度大于 lca(x,y)，这就满足 lca(u,v) 在路径 (x,y) 上。
   b. lca(u,v) 深度小于 lca(x,y)，这就满足 lca(x,y) 在路径 (u,v) 上。

若路径不相交：
则显然其中一个路径的 lca 不可能在另一个路径上。

QED

成功证明命题等价。