解析几何中的点

目录

• 点
  • 分类
    • 定点
    • 动点
  • 表示
  • 点与点的关系
    • 消元
    • 齐次
    • 变形

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点

分类

定点

焦点，顶点，准线上的点

动点

自由点

交点：点驱动，线驱动

表示

一般设：\((x,y)\)

关系设：\((x,kx+b)\)，\((\dfrac{y^2}{2p},y)\)

参数设：\((\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\)，\((x_0+t\cos\theta,y_0+t\sin\theta)\)

点与点的关系

联立后：消元，齐次，变形。

消元

\[\begin{cases} y=kx+b\\ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \end{cases} \Rightarrow a_2x^2+a_1x+a_0=0 \]

由韦达定理可知：\(x_1+x_2=-\dfrac{a_1}{a_2}\)，\(x_1x_2=\dfrac{a_0}{a_2}\)

齐次

\[\begin{cases} mx+ny=1\\ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \end{cases} \Rightarrow a_2y^2+a_1xy+a_0x^2=0\\ \Rightarrow a_2\left(\frac yx\right)^2+a_1\frac yx+a_0=0\\ \Rightarrow a_2k^2+a_1k+a_0=0 \]

可以使用韦达定理

变形

\[\begin{cases} \dfrac{x_1^2}{a^2}+\dfrac{y_1^2}{b_2}=1\\ \dfrac{x_2^2}{a^2}+\dfrac{y_2^2}{b_2}=1 \end{cases} \Rightarrow \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\cdot\frac{y_1+y_2}{x_1+x_2}=-\frac{a^2}{b^2}\\ \Rightarrow k_1k_2=-\frac{a^2}{b^2} \]