一些集合运算的性质

目录

• 并集和交集的性质
  • 性质 1
  • 性质 2
  • 性质 3
  • 性质 4
  • 性质 5
• 德摩根律
  • 在逻辑学中的类似定理
  • 定理本身与对其的证明

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并集和交集的性质

性质 1

\(A\subset (A\cup B)\) 且 \(A \supset (A\cap B)\)

证明：

若 \(x\in A\)，则 \(x\in A\) 或 \(x\in B\)，故第一个结果成立。

若 \(x\in (A\cap B)\)，则 \(x\in A\) 且 \(x \in B\)，则 \(x \in A\)，故第二个结果成立。

性质 2

当且仅当 \(A\cup B = B\) 时 \(A\subset B\)

证明：

右到左： 假设 \(A\sub B\)，尝试证明 \(A\cup B\sub B\) 且 \(A\cup B\supset B\)。

由于假设 \(A\sub B\)，那么 \((A\cup B)\sub (B\cup B)\)，即 \(A\cup B\sub B\)；

而 \(A\cup B\supset B\) 是显然成立的。

左到右： 假设 \(A\cup B = B\)，显然 \(A\sub (A\cup B) = B\)。

性质 3

当且仅当 \(A\cap B = A\) 时 \(A\sub B\)

证明：

右到左： 假设 \(A\sub B\)，尝试证明 \(A\cap B\sub A\) 和 \(A\cap B \supset A\)。

\(A\cap B\sub A\) 显然成立；由于 \(A\sub B\)，那么

若有 \(x\in A\)，则 \(x\in B\)，即 \(x\in A\) 且 \(x\in B\)，故 \(A\cap B\supset A\) 成立。

左到右： 假设 \(A\cap B = A\)，显然 \(B\supset (A\cap B)\)，即 \(A\sub B\)。

性质 4

对于任意 \(n\in N\)，有：

\[A\cup(B_1\cap B_2\cap\cdots \cap B_n) = (A\cup B_1)\cap(A\cup B_2)\cap\cdots\cap(A\cup B_n) \]

即，并集具有对交集的分配律。

证明：

要证明的东西可以写成：

\[A\cup\left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right) = \bigcap_{i=1}^n (A\cup B_i) \]

等价于证明：

\[A\cup\left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right) \sub \bigcap_{i=1}^n (A\cup B_i) \]

和：

\[A\cup\left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right) \supset \bigcap_{i=1}^n (A\cup B_i) \]

第一个式子：

令 \(x\in A\cup\left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right)\)，如果 \(x\in A\)，那么显然对于任意 \(B_i\)，\(x\in (A\cup B_i)\)，那么 \(x\in \bigcap_{i=1}^n (A\cup B_i)\)；如果 \(x\in\left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right)\)，那么对于任意 \(B_i\)，\(x\in B_i\)，\(x\in(A\cup B_i)\)，也成立。

第二个式子：

令 \(x\in\bigcap_{i=1}^n (A\cup B_i)\)，那么对于任意 \(i\)，\(x\in(A\cup B_i)\)。

若 \(x\in A\)，那么 \(x\in A\cup\left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right)\);

若 \(x\in B_i\)，那么 \(x\in \left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right)\)，也成立。

性质 5

\[A\cap\left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right) = \bigcup_{i=1}^n(A\cap B_i) \]

即交集具有对交集的分配律。

证明：

令 \(x\in A\cap\left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right)\)，则 \(x\in A\) 且 \(x\in \left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right)\)，故而必然有某个 \(i\) 使得 \(x\in (A\cap B_i)\)，故而 \(x\in \bigcup_{i=1}^n(A\cap B_i)\)，这就证明了\(A\cap\left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right) \sub \bigcup_{i=1}^n(A\cap B_i)\)

令 \(x\in \bigcup_{i=1}^n(A\cap B_i)\)，即 \(x\in A\)，而且存在某个 \(i\) 使得 \(x\in B_i\)，故而 \(x\in \left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right)\)，故而 \(x\in A\cap\left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right)\)，这就证明了 \(A\cap\left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right) \supset \bigcup_{i=1}^n(A\cap B_i)\)

德摩根律

在逻辑学中的类似定理

对于两个命题 \(\bf A\) 和 \(\bf B\)，有：

\[\neg({\bf A}\or{\bf B}) \Longleftrightarrow (\neg{\bf A})\and(\neg{\bf B})\\ \neg({\bf A}\and{\bf B}) \Longleftrightarrow (\neg{\bf A})\or(\neg{\bf B}) \]

大声读出来就可以明白正确性。

定理本身与对其的证明

令 \(E_{\alpha}\) 表示任意一族集合，令所有 \(E_{\alpha}\) 都是集合 \(X\) 的子集，在下文中以 \(E_{\alpha}^C\) 来表示在 \(X\) 中 \(E_{\alpha}\) 的补集。

定理：

\[\left(\bigcup_{\alpha}E_{\alpha} \right)^C = \bigcap_{\alpha}E_{\alpha}^C\\ \left(\bigcap_{\alpha}E_{\alpha} \right)^C = \bigcup_{\alpha}E_{\alpha}^C \]

证明：

以 \(\left(\bigcup_{\alpha}E_{\alpha} \right)^C = \bigcap_{\alpha}E_{\alpha}^C\) 为例，实际上可以用之前无数次证明中所使用的定理 \(A=B\Longleftrightarrow A\sub B\and A\supset B\) 来证明，但也可以使用上文提到的 \(\neg({\bf A}\or{\bf B}) \Longleftrightarrow (\neg{\bf A})\and(\neg{\bf B})\) 来证明，具体过程是：

设命题 \({\bf P}(x,\alpha)\) 表示 \(x\in E_{\alpha}\)，那么 \(x\in\left(\bigcup_{\alpha}E_{\alpha} \right)^C\) 这个命题就等价于 \(\neg \left(\bigvee_{\alpha}{\bf P}(x,\alpha)\right)\)，当然有一些逻辑上的边界需要处理，比如 \(x\notin E_{\alpha}\) 实际上表示 \(x\notin E_{\alpha} \and x\in X\)，但无伤大雅，借此，定理就得证了。