向量点乘

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目录

• 定义
• 分配律
• 在坐标表示下的数值

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定义

向量点积的定义：

\[\vec a\cdot \vec b = |\vec a||\vec b|\cos<\vec a,\vec b> \]

其中 \(\cos<\vec a,\vec b>\) 表示 \(\vec a\) 和 \(\vec b\) 之间的小于等于 \(\pi\) 的夹角。

分配律

向量的点积具有对向量加法的分配律，即，\(\vec c\cdot(\vec a+\vec b) = \vec c\cdot\vec a+\vec c\cdot\vec b\)。

显然当 $\vec c =0 $ 的时候是显然成立的，其余情况下如何证明呢？首先看下面的图。

其中 \(B_A\) 表示 \(\vec B\) 在 \(\vec A\) 朝向上的投影，\(|B_A|\) 在数值上等于 \(|\vec B|\cos<\vec B,\vec A>\)，\(C_A\) 和 \((B+C)_A\) 类比即可。

这样 \(\vec A\cdot\vec B\) 在数值上就等于 \(|B_A||A|\)。

从上面的图可以看出，\(|B_A|+|C_A|=|(B+C)_A|\)，由此：

\[\begin{align} \vec A\cdot(\vec B+\vec C) &= |\vec A||(B+C)_A|\\ &= |\vec A|(|B_A|+|C_A|)\\ &=|\vec A||B_A|+|\vec A||C_A|\\ &=\vec A\cdot\vec B+\vec A\cdot\vec B \end{align} \]

QED.

在坐标表示下的数值

在坐标表示下，\(\vec a = (x_a,y_a) = x_a\vec e_x+y_a\vec e_y\)，\(\vec b=(x_b,y_b)=x_b\vec e_x+y_b\vec e_y\)。

那么

\[\begin{align} \vec a\cdot \vec b &= (x_a\vec e_x+y_a\vec e_y)\cdot(x_b\vec e_x+y_b\vec e_y)\\ &=x_ax_b\vec e_x\vec e_x+y_ax_b\vec e_y\vec e_x+x_ay_b\vec e_x\vec e_y+y_ay_b\vec e_y\vec e_y\\ &= x_ax_b+y_ay_b \end{align} \]