指数分布和泊松过程(Exponential Distribution and Poisson Process)--3

指数分布和泊松过程(Exponential Distribution and Poisson Process)--3

Counting Processes (计数过程)

随机过程\(\{N(t),t\geq 0\}\)是计数过程当且仅当 \(N(t)\)表示到时间\(t\)为止事件发生的次数。

Poisson Process(泊松过程)

称满足以下公理的计数过程为泊松过程：

• \(N(0) = 0\)

• \(\{N(t),t\geq0\}\) 具有独立增量和平稳增量(平稳增量不是必须的)

  独立增量：在不相交的时间间隔中时间发生的次数相互独立

  平稳增量：在等长的时间间隔中事件发生的次数同分布

• \(P\{N(t+s)-N(t)=1\} = \lambda s+o(s)\)

• \(P\{N(t+s)-N(t) \geq 2\} = o(s)\)

对于满足以上公理的计数过程\(\{N(t),t\geq 0\}\), 有如下定理

\(N(t)\)是具有均值为\({\lambda t}\)的泊松随机变量，且\(N(t+s)-N(t)\)也是具有均值为\({\lambda s}\)的泊松随机变量

后面这个实际上是在说对于满足以上公理的\(\{N(t),t\geq 0\}\), 等长时间段内事件发生的次数是均值为\(\lambda t\)的泊松随机变量(无记忆性)。这个定理的证明需要对\(N(t)\)进行Laplace变换(矩母函数的e上多一个负号)\(g(\mu)\), 然后通过\(E(X) = E(E(X|Y))\)得出一个关于\(g(\mu)\)的微分方程，接着通过Laplace变换的唯一性得到\(N(t)\)实际上满足泊松分布。

这里的\(\lambda\)是泊松过程的速率，它越大，等长时间内事件发生的次数的均值就越大，这意味着平均来看这个过程就越快。

Homogeneous Poisson Process (时齐泊松过程)

1. 两相邻到达事件时间间隔的分布

设\(T_i\)表示第\(i-1\)个事件和第\(i\)个事件达到的间隔时间，我们要求\(T_i\)的分布即求\(P\{T_i>t\}\)的概率。因为\(P\{T_1>t\} = P\{N(t) = 0\}\), 又因为\(N(t)\)是一个均值为\(\lambda\)的泊松随机变量，所以\(P\{T_1>t\} = e^{-\lambda t}\). 下面来考虑\(P\{T_2>t\}\), 在第一个事件到达的情况下有

\(P\{T_2>t|T_1=s\} = P\{\text{在(s,t+s]的区间中没有事件到达}|T_1 = s\} = e^{-\lambda t}\)

最后一个等号是因为泊松过程的独立增量和平稳增量。再根据\(P\{T_2>t\}=E(P\{T_2>t|T_1=s\})\)得到\(T_2\)也是服从均值为\(\frac1\lambda\)的指数分布。重复这个过程可以得到以下命题

\(T_n\)是独立同分布的指数随机变量，均值为\(\frac1\lambda\)

2. 第\(n\)个事件达到时间的分布(等待时间的分布)

第\(n\)个时间到达的时间\(S_n\)可以表为：\(S_n = \sum_{i = 1}^n T_i\), 由上面知道\(T_i\)是服从均值为\(\frac1\lambda\)的指数随机变量，而\(n\)个参数为\(\lambda\)的指数随机变量的和是服从参数为\(n,\lambda\)的伽马随机变量，所以\(S_n\)服从参数为\(n,\lambda\)的伽马分布，即

\(S_n\sim f_{S_n}(x) = \frac{\lambda e^{-\lambda x} (\lambda x)^{n-1}}{\Gamma(n)}\quad x>0\)

Inhomogeneous Poisson Process(非时齐泊松过程)

和连续时间马氏链的生灭过程有点关系 未完待更...