最长公共子序列问题的动态规划解法

就我目前学习动态规划的程度，我觉得使用动态规划的方法解决一个问题，最难的是：

将问题的解决过程用递归的形式表达出来。

使用递归的形式表达出来之后，可以判断是否有重叠的子问题，或者我们在构造递归表达形式的过程中，就会进行判断。另外，可以根据递归的参数，设计数组存储计算的结果，也就是有些博客中提到的填表过程。有很多时候，觉得动态规划解法的代码中，数组运用到很是巧妙，这个主要还是来自递归形式中。 在上一篇的博客中，递归形式其实比较明显。在这一篇，我尝试分析最长公共子序列问题的动态规划解法儿，加深递归表达式产生的过程，也就是自顶向下的分析过程。 最长公共子序列问题：一个数列 S，如果分别是两个或多个已知数列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。 对于一般性的最长公共子序列问题（LCS）是NP-hard问题。但是，当数列数目确定的时候，可以通过动态规划的方法，在多项式时间内完成。 这里我们要注意，子序列中的元素，在圆数列中，不一定是连续的。例如ABCDEF，ABC、ABD都是子序列。如果是连续的话，就不是用动态规划的方法进行解决，而是采用后缀数树、或者后缀数组的方法进行，这个在我前边的博客有介绍，可以参考，我有时间也需要复习。 来看一个具体的例子：POJ1458这个题目就是典型的求最长公共子序列的问题，只输出最长子序列的长度即可。而且只是两个字符串的最长公共子序列。下面分析递归形式的产生过程。令第一个字符串为：a[1...i]，第二个字符串为：b[1...j]。 当某一个字符串长度为0的时候，显然最长子序列长度就是0. 当某一个字符串长度为1的时候，假设a的长度为1，则a就是a[1]。两种情况：

1. a[1]==b[j]，则LCS=1，可以理解为max{LCS（a[0],b[j-1]）} + 1。前面的值为0.
2. 没有一个b[j]与a[1]相等，则LCS=0。理解为max{LCS（a[1], b[j-1]）,LCS（a[0],b[j]）}=0

当某一个字符串儿长度为2的时候，假设a的长度为2，则a就包含a[1],a[2]。如下分析：

1. 当a[1]=b[j1]且a[2]=b[j2]，则LCS=2：
1. 从a[1]开始考虑，当a[1]和某个b[j]相等时，LCS=1，这个和上面1中的一样。
2. 然后考虑a[2]，当a[2]与某个b[j]相等时，则说明，LCS的大小，在a[1]的基础上，又增加1，即为：max{LCS（a[2]，b[j]）}=max{LCS（a[1]b[j-1]）} + 1=2.其中j1 <= j - 1
2. 当a[1]=b[j1]且a[2]!=b[j2]，这时候LCS=1：
1. a[1]分析同上；
2.  对于分析a[2]的时候，由于找不到相等的。所以，只能依赖前面的结果。即 max{LCS（a[2],b[j2]）}=max{LCS（a[1], b[j2]）, LCS（a[2],b[j2-1]）}

通过上面的分析，我们得到如下递归表达式：

1. 当i=j=1时，
1. 若a[1]=b[1]，则LCS=1，否则LCS=0
2. 当i!=1或者j!=1时：
1. 当a[i]=b[j]时：LCS（a[i],b[j]）=LCS（a[i-1], b[j-1]）+1
2. 当a[i]!=b[j]的时候：LCS（a[i],b[j]） = max（LCS （a[i -1, b[j]），LCS（a[i],b[j-1]））

上面的分析，并不透彻，我理解的还不够到位，继续加深理解。这道题目的核心代码如下：

int[][] lcs = new int[len1 + 1][len2 + 1];
			for(int i = 0;i <= len1;i++)
				lcs[i][0] = 0;
			for(int i = 0;i <= len2;i++)
				lcs[0][i] = 0;
			for (int i = 1; i <= len1; ++i)
				for (int j = 1; j <= len2;++j) {
					if (ss[0].charAt(i - 1) == ss[1].charAt(j - 1))
						lcs[i][j] = lcs[i - 1][j - 1] + 1;
					else
						lcs[i][j] = Math.max(lcs[i - 1][j], lcs[i][j - 1]);
				}
			System.out.println(lcs[len1][len2]);

  【引用】

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E9%95%BF%E5%85%AC%E5%85%B1%E5%AD%90%E5%BA%8F%E5%88%97