动态规划入门

一种学习编程的方法：抄别人的思路，抄别人的代码，然后，变成自己的。

我在微博上看不少牛人都用过这样的方法，我以前也用，只不过没说。哈哈，这种方法适合比较难的算法。而，动态规划对我来说，就是比较难的了。算法，我觉得自己上道儿没多久。 一直听说动态规划是一种很牛的算法，确切的说是一种方法。我对它一直都是望而却步，一方面没有实际需求，另一方面总觉得自己学不会。这不要练内功，就硬着头皮开始，并且使出我上面的招数。 （本来前几天就要开始的，结果杭电acm上不去了，真郁闷，今天我不得不转战北大的acm。以后可能这儿吧，至少这里稳定啊，不会像杭电那样，总挂。这样，我这个春节回家，也算有点儿成绩了） 原来或多或少接触过动态规划，从别人的只言半语中，我觉得动态规划就是把一些需要重复计算的结果，存储起来，或者说缓存起来，这样，就可以不需要重复计算。但是，在实际运用中，我这招儿好想不灵，我觉得应该是问题本身的原因，如果大量重复得子问题，缓存的思想，肯定也能够提速不少的。既然如此，就说说正规的动态规划。

自顶向下的分析问题，自底向上的解决问题。

这是动态规划方法的要诀，解决问题的时候，都应该按照这个来进行。在使用这个要诀进行分析之前，首先要明确，什么样的问题，能过用动态规划的方法解决：

1. 最优子结构性质。意思是，要解决最优问题，可以通过找到其子问题的最优解来进行。这是一个递归的过程，但是学术一点儿说：要满足最优化原理
2. 子问题重叠性质。就是在递归的过程中，每次遇到的子问题，不一定都是新的，可能已经计算过了，那这样再此计算就是浪费。

具备上面两个性质的问题，我们就可以采用动态规划来解决。第一个理解递归的，就比较好理解。第二个呢，还需要深入分析一下。记得看过网易公开课，课中将到，求解fibonacci数列，如果采用递归的方法，当计算fib（6）的时候，函数调用25次，而采用动态规划的方法，需要11次。这里，使用动态规划带来的好处，并不明显，25次很小，11次再稍微小一点儿。但是，当我们计算fib（30）的时候，如果是递归的方法，需要调用2692537次，而动态规划，只需要调用59次。这就看到巨大的差距了。所以，当我们应用动态规划方法的时候，我们也要去考虑，真的值得使用，是参数为6的情况，还是参数为30的情况？毕竟，动态规划的代码，要比递归要复杂，要更难阅读。这意味着在实际中，维护成本增加。 下面，通过POJ的几个入门级的题目，理解动态规划。 POJ1163 这个题目比较有意思。如下图： 遍历这棵二叉树，当然每次只能选择左右子树其中一个。要找到一条路径，从根到叶子的路径上的所有数字和最大，输出最大数字即可。 分析：首先要寻找最优子结构，确定递归的形式。忽略中间过程，最终会有五个值，因为是五个叶子节点。得到这五个值之后，比较一下，最大的就出来，那这每个值如何得到呢？此处就可以产生递归形式和最优子结构。要表示这个二叉树，可以用一个二维数组a[n][2n - 1]。这个很好理解，那a[n][1]=4，所以：

a[n][1] = max(a[n - 1][2]) + a[n][1]------①

递归形式出来了，要求得到a[n][1]节点的最大和，就要求得到a[n - 1][2]（本来的值为2）节点的最大和，再加上a[n][1]本来的值就可以了。

再看a[n][3]怎么处理（a[n][2] = 0），递归形式如下：

a[n][3] = max(a[n - 1][2], a[n - 1][ 3 + 1]) + a[n][3]-------②

②与①有一点儿不一样。差别就在a[n][3]的父节点有两个，而 a[n][1]只有一个。

现在递归形式找到了，那么子问题重叠问题呢？通过①和②很明显的看出来，他们重复计算了a[n - 1][2]。其实，如果，我们把计算的过程都列出来，重复计算也是指数级增长的。可充分利用动态规划的长处。

核心代码如下：

for (int i = 1; i <= n; ++i) {
			for (int j = 1; j < n + n; ++j) {
				if (i == 1 || 0 == values[i][j]) continue;
				int max = 0;
				if (j > 1 && values[i - 1][j - 1] > max)
					max = values[i - 1][j - 1];
				if (j < n + n - 1 && values[i - 1][j + 1] > max) 
					max = values[i - 1][j + 1];
				values[i][j] = max + values[i][j];
			}
		}

后面还有几个例子，今天一共ac了四个题目，会慢慢写出来分析。

【引用】

http://v.163.com/movie/2010/6/8/1/M6TCSIN1U_M6TCT9E81.html

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92