后缀数组构建--倍增算法分析

对于后缀数组的了解，要始于一篇论文，论文中，使用后缀数组的方式存储索引，改进词组检索的效果和性能，相对于倒排索引而言，后缀数组在空间占用上会比较大，但是效果却非常好，这个是倒排索引所无法高效应对的，而且，个人的一个猜想，会有越来越多的内存索引是基于后缀数组实现的，或许，已经有了。 从别的地方转来的几个个概念，我就不重复了： 子串：字符串S的子串r[i..j]，i≤j，表示r串中从i到j这一段，也就是顺次排列r[i]，r[i+1]，...，r[j]形成的字符串。 后缀：后缀是指从某个位置i开始到整个串末尾结束的一个特殊子串。字符串r的从第i个字符开始的后缀表示为Suffix(i)，也就是Suffix(i)=r[i..len(r)]。 后缀数组：后缀数组SA是一个一维数组，它保存1..n的某个排列SA[1]，SA[2]，……，SA[n]，并且保证 Suffix(SA[i])<Suffix(SA[i+1])，1≤i<n。也就是将S的n个后缀从小到大进行排序之后把排好序的后缀的开头位置顺次放入SA中。 名次（rank）数组：名次数组Rank[i]保存的是Suffix(i)在所有后缀中从小到大排列的“名次”。 从定义中，可以看出，后缀数组和名次数组是互逆的。这一点至关重要，无论是倍增算法，还是求height数组的时候，都要能够熟练的理解这个，就好像潜意识中一样。 下面就说一下倍增算法，主要思路如下：用倍增的方法对每个字符开始的长度为2^k的子字符串进行排序，求出排名，即rank值。k从0开始，每次加1，当2^k大于n以后，每个字符开始的长度为2^k的子字符串便相当于所有的后缀。并且这些子字符串都一定已经比较出大小，即rank值中没有相同的值，那么此时的rank值就是最后的结果。可以通过如下的手绘的图，来理解这个过程。同样以aabaaaab为例： 每一次，都是对每个字符开始的2^k的字串，按照字典序进行排序，比说第3次，每个字符开始的字符串长度就应该为8，则分别为，aabaaaab,abaaaab,baaaab,aaaab, aaab,aab,ab,b。首先补全，要在后面全部补a，字典序结果为，4，6，7，1，2，3，5，7。 根据以上的思路，不做改进，实现的代码，效率会非常低。主要原因在于，每次子字符串排序的时候，效率比较低(循环次数logn，排序时间O(nlogn)，总的时间复杂度为O(n(ogn)^2))。下面章介绍使用基数排序的倍增算法，会对基数排序是如何提速的。 基本的想法就是，2^k的子串可以表示为两个2^(k-1)的子串。这样排序就可以使用基数排序，时间复杂度为O (nlog(r)m)。并且，可以利用到上次的排序结果，这一步排序的时间复杂度变为O(n)，则总的时间复杂度为O(nlogn)，过程示意图如下： 这个图转自另一个博客，把过程已经很明显的表达出来了。 【引用】

http://www.cppblog.com/superKiki/archive/2010/05/15/115421.html