正弦信号的有效值推导

前言

继续上次推导有效值的定义后，我们再来推导下常见的正弦信号的有效值

推导过程

上次我们已经推导出

\[I_{有效值} = I_{RMS} = \sqrt{ \frac {1}{T} {\int_{0}^{T}{i_{ac}(t)^2}dt} } \]

我们把\(i_{ac}\)变成正弦信号，即

\[i_{ac} = I_{max}sin(\omega)t \]

代入有效值公式，可得

\[I_{RMS} = \sqrt { \frac 1 T {\int_{0}^{T}{I_{max}\sin^2(\omega t)}dt} } \]

\[= \sqrt { \frac {I_{max}^2} {T} \int_{0}^{T}\frac{1-\cos(2\omega t)}{2}dt } \]

\[= \sqrt { \frac {I_{max}^2} {2T} (\int_{0}^{T}dt-\int_{0}^{T}{\cos(2\omega t)}dt) } \]

\[= \sqrt { \frac {I_{max}^2} {2T} (T-0) } \]

\[= \sqrt { \frac {I_{max}^2} {2} } \]

\[= \frac {I_{max}}{\sqrt2} \approx 0.707I_{max} \]

总结

由上述推导过程可得，对于正弦信号，他的均方根，即有效值为

\[I_{RMS} = \frac {I_{max}}{\sqrt2} \approx 0.707I_{max} \]