Root mean square（RMS）均方根在电学上为什么叫有效值

前言

Root mean square（RMS）中文名也叫均方根。在物理上经常用某一个数学公式来带入实际物理意义，我们来分析下为什么用RMS来指代有效值。

正文

数学定义

均方根常见的定义一般用于离散序列，具体为n个项的平方和除以n再开方，即

\[rms = \sqrt{\frac{(x^2_0+x^2_1+x^2_2+....+x^2_n)}{n}} = \sqrt{\frac{\sum_{i=0}^{n}{x^2_i}}{n}} \]

而把他改成连续性方程就成了

\[rms = \sqrt \frac {\int_{0}^{\tau}{x(t)^2}dx} {\tau} \]

电学意义

一般来说，对于直流电\(I_{DC}\),我们计算他在一定时间\(t\)内在某个电阻\(R\)上做的热功\(W_{DC}\)定义为

\[W_{DC}=I^2_{DC}Rt \]

如果电流为交流电\(i_{ac}\)，公式变为

\[W_{AC}=\int^\tau_0i_{ac}(t)^2Rdt \]

因为做功就是做功，直流电交流电流经电阻都是在做热功，区别只是电流不同导致做的功大小不同。那么我们把\(W_{AC}=W_{DC}\)，使直流电做的热功等效交流电做的热功，来算算看做同样功时，交流电的电流和直流电的电流有什么关系

\[I^2_{DC}Rt = \int^\tau_0i_{ac}(t)^2Rdt \]

把公式进行移项，可得

\[I_{DC} = \sqrt \frac {\int_{0}^{\tau}{i_{ac}(t)^2}dt} {\tau} \]

然后我们就发现了，这玩意和前面的数学的均方根形式上是一样的

总结

通过前面的推到，我们成功得出做同样功时，交流电的电流的均方根（RMS）和直流电的电流相同，即

\[I_{DC} = \sqrt \frac {\int_{0}^{\tau}{i_{ac}(t)^2}dt} {\tau} = I_{RMS} \]

同理，在功率\(P_{AC}=P_{DC}\)时也成立。那么我们就可以通过用交流电的电流均方根RMS来指代等效功率时的直流电的电流大小
为了区别于均方根这里纯数学概念，我们一般称其为电流有效值,同理电压的也叫电压有效值